证明方程X^n+X^n-1+.+X^2+X=1在（0,1）内必有唯一实根Xn,并求limXn在n趋向于无穷时的极限（n=2,3,4.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/27 12:51:03
证明方程X^n+X^n-1+.+X^2+X=1在（0,1）内必有唯一实根Xn,并求limXn在n趋向于无穷时的极限（n=2,3,4.
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证明方程X^n+X^n-1+.+X^2+X=1在（0,1）内必有唯一实根Xn,并求limXn在n趋向于无穷时的极限（n=2,3,4.
证明方程X^n+X^n-1+.+X^2+X=1在（0,1）内必有唯一实根Xn,并求limXn在n趋向于无穷时的极限（n=2,3,4.

证明方程X^n+X^n-1+.+X^2+X=1在（0,1）内必有唯一实根Xn,并求limXn在n趋向于无穷时的极限（n=2,3,4.
令f(x)=X^n+X^n-1+.+X^2+X-1,
则f(0)=-1=2-1=1
显然f(x)是单增函数,所以在（0,1）内必有唯一实根Xn
左边有
我们说看到Xn是关于n单减的,下面用反证法证明：
如若不然,则存在k>=2,使 Xk+1>=Xk
有 1 = (Xk+1)^(k+1) + (Xk+1)^(k)+ ...+Xk+1 >= (Xk+1)^(k+1)+(Xk)^(k)+ ...+Xk =(Xk+1)^(k+1)+1>1
得到了1>1矛盾.
所以Xn单减,而有下界是显然的,所以Xn收敛,设Xn→x
对于左边用等比数列求和有 Xn(1 - (Xn)^n)/(1-Xn)=1
n→∞有 x/(1-x)=1
解得x=1/2
所以Xn→1/2

设x~t(n),证明x^2~f(1,n) 数列Xn；其中x1=2；x(n+1)=x(n)/2+1/x(n)；证明x(n) 证明方程x^n+n*x-1=0有唯一的正实根 证明(x-1)(x的n次方+x的n-2+...+x=1) 证明1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!无重根… x^(n)*x^(n+1)+x^(2n)*x 试证明关于X的方程 [n(1+X)^(n-1)+(1+X)^n] / [(n+1)(1+X)^n+(1+X)^(n+1)] =[ (2^n)-1] / [ (2^(n+1) -1] 在区间（0,2）上有唯一实数根；记此根为X(n),求X(n)的最大值小弟我是重点中学尖子班的学生，也不会做此题 证明题：证明当n是一个整数且n>2时,方程x^n+y^n=z^n无正整数x,y,z的解. 证明(1+x)^n>1+nx,(x>0,n>1) 已知X~t(n),证明X²~F(1,n) 设n为正整数,[x]表示不超过x的最大整数,解方程 x+2[x]+3[x]+...+n[x]=n(n+1)(n+1)*1/2 解方程(2n+4)(x-n-1)-x=x(x-n-1)x为未知数 证明：x^n-na^(n-1)x+(n-1)a^n能被(x-a)^2整除(n>=2,n属于N*) f(x)=e^x-x 求证(1/n)^n+(2/n)^n+...+(n/n)^n 高等代数证明 f(x)=1+x+x²/2!+…+x∧n/n!,证f'(x)与x∧ n/n!互素 m,n为有理数,证明方程(m+n)x+m-(m-n)y+n=0 若(x^2+1/x)^n(n∈N+,n 因式分解：(x^n+1)+(2x^n)+(x^n-1)