作业帮欧拉公式的推导过程e^ix=cosx+isinx 该欧拉公式
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/19 00:39:54
欧拉公式的推导过程e^ix=cosx+isinx 该欧拉公式
欧拉公式的推导过程
e^ix=cosx+isinx 该欧拉公式
欧拉公式的推导过程e^ix=cosx+isinx 该欧拉公式
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级数展开即可证明
将函数y=e^x、y=sinx、y=cosx用幂级数展开,有
e^x=exp(x)＝1＋x/1！＋x^2/2！＋x^3/3！＋x^4/4！＋…＋x^n/n！＋… <1>
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+……+(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+…… <2><...
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级数展开即可证明
将函数y=e^x、y=sinx、y=cosx用幂级数展开,有
e^x=exp(x)＝1＋x/1！＋x^2/2！＋x^3/3！＋x^4/4！＋…＋x^n/n！＋… <1>
sinx=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!+……+(-1)^(k-1)*x^(2k-1)/(2k-1)!+…… <2>
cosx=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!+……+(-1)^k*x^(2k)/(2k)!+…… <3>
将<1>式中的x换为ix,得到<4>式；
将i*<2>+<3>式得到<5>式。比较<4><5>两式，知<4>与<5>恒等。
于是我们导出了e^ix=cosx+isinx，
将公式里的x换成-x，得到：
e^-ix=cosx-isinx，然后采用两式相加减的方法得到：
sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.
tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix)+ie^(-ix)]
此时三角函数定义域已推广至整个复数集。
P.S.
幂级数
c0+c1x+c2x^2+...+cnx^n+...=∑cnx^n (n=0..∞)
c0+c1(x-a)+c2(x-a)^2+...+cn(x-a)^n+...=∑cn(x-a)^n (n=0..∞)
它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数, 这种级数称为幂级数.
泰勒展开式(幂级数展开法):
f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)^2+...f(n)(a)/n!*(x-a)^n+...
实用幂级数：
ex = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...+x^n/n!+...
ln(1+x)= x-x^2/3+x^3/3-...(-1)k-1*x^k/k+... (|x|<1)
sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-...(-1)k-1*x^(2k-1)/(2k-1)!+... (-∞
arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ... ) (|x|<1)
arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 - ... (x≤1)
sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+...(-1)k-1*x^(2k-1)/(2k-1)!+... (-∞
arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ... (|x|<1)
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一方面，在原图中利用各面求内角总和。
设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为：
Σα = [(n1-2)·180+(n2-2)·180 +…+(nF-2) ·180]
= (n1+n2+…+nF -2F) ·180
=(2E - 2F) ·180= (E-F) ·360 （1）
另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总...
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一方面，在原图中利用各面求内角总和。
设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为：
Σα = [(n1-2)·180+(n2-2)·180 +…+(nF-2) ·180]
= (n1+n2+…+nF -2F) ·180
=(2E - 2F) ·180= (E-F) ·360 （1）
另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。
设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·180，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·360，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·180。
所以，多面体各面的内角总和：
Σα = (V-n)·360+(n-2)·180+(n-2)·180 =（V-2）·360. （2）
由(1)(2)得： (E-F) ·360 =（V-2）·360
所以 V + F – E = 2.
收起
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