已知abc为有理数,且a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)=-3,a+b+c≠0,求1/a+1/b+1/c

已知abc为有理数,且a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)=-3,a+b+c≠0,求1/a+1/b+1/c
已知abc为有理数,且a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)=-3,a+b+c≠0,求1/a+1/b+1/c

已知abc为有理数,且a(1/b+1/c)+b(1/c+1/a)+c(1/a+1/b)=-3,a+b+c≠0,求1/a+1/b+1/c
设1/a+1/b+1/c=k
原式=a(k-1/a)+b(k-1/b)+c(k-1/c)=k(a+b+c)-3=-3
所以k(a+b+c)=0,而a+b+c≠0,所以k=0

条件式即
(a/b)+(a/c)+(b/c)+(b/a)+(c/a)+(c/b)=-3
通分得
(a^2c+a^2b+b^2a+b^2c+c^2b+c^2a+3abc)/abc=0
得到
a^2c+a^2b+b^2a+b^2c+c^2b+c^2a+3abc=0
即
(b+c)a^2+(b^2+c^2+3bc)a+bc(b+c)=0
十...

全部展开

条件式即
(a/b)+(a/c)+(b/c)+(b/a)+(c/a)+(c/b)=-3
通分得
(a^2c+a^2b+b^2a+b^2c+c^2b+c^2a+3abc)/abc=0
得到
a^2c+a^2b+b^2a+b^2c+c^2b+c^2a+3abc=0
即
(b+c)a^2+(b^2+c^2+3bc)a+bc(b+c)=0
十字分解得
[(b+c)a+bc](a+b+c)=0
由a+b+c≠0
得到
(b+c)a+bc=bc+ab+ac=0
两边除以abc得到
(1/a)+(1/b)+(1/c)=0

收起

原式可转化为
a(1/b+1/c+1/a)+b(1/c+1/a+1/b)+c(1/a+1/b+1/c)=0
（a+b+c)*(1/a+1/b+1/c)=0
前面的不为零，所以必有后面的是零

3=1+1+1
所以a/b+a/c+b/c+b/a+c/a+c/b+1+1+1=0
(a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c=0
(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)=0
a+b+c≠0
所以1/a+1/b+1/c=0