求积分函数是x^(1/2)(1+x^2)^(1/4)的不定积分

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/28 09:02:06
求积分函数是x^(1/2)(1+x^2)^(1/4)的不定积分
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求积分函数是x^(1/2)(1+x^2)^(1/4)的不定积分
求积分函数是x^(1/2)(1+x^2)^(1/4)的不定积分

求积分函数是x^(1/2)(1+x^2)^(1/4)的不定积分
在这里我首先给楼主介绍一个切比雪夫法来解无理积分.
对于被积函数形式为x^m(a+bx^n)^p（m,n,p均为有理数,但不同时为整数）的无理函数
情况1：若p为整数,则设t^N=x,这里N为m和n分母部分的最小公倍数
情况2：若(m+1)/n为整数,则设t^N=a+bx^n,这里N为p的分母值
情况3：若(m+1)/n+p为整数,则设t^N=ax^-n+b,这里N为p的分母值
如果以上三种情况都不符合,则切比雪夫法不适用
像楼主这个题目,(1/2+1)/2+1/4=1=整数,所以符合切比雪夫法的第3种情况,于是设t^4=x^-2+1,即x=(t^4-1)^(-1/2),则dx=-2t^3(t^4-1)^(-3/2)dt,代入即得
-2t^4/(t^4-1)^2dt
这是一个有理函数的积分
它可拆解成两个有理函数积分的和
-2(1/(t^4-1)dt+1/(t^4-1)^2dt)
这两个函数的积分都是很容易的,都属于简单的有理积分
最后只要将积分结果中的t用x代回就可以了
希望我的答案能对楼主有所帮助

我目前只能想到这里，不知是否有帮助

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