是否存在abc,使等式12^2+23^2+34^2+…+n(n+1)^2=[n(n+1)/12](an^2+b*n+c)对一切自然数成立

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/12/01 20:10:10

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是否存在abc,使等式1*2^2+2*3^2+3*4^2+…+n(n+1)^2=[n(n+1)/12](a*n^2+b*n+c)对一切自然数成立
是否存在abc,使等式1*2^2+2*3^2+3*4^2+…+n(n+1)^2=[n(n+1)/12](a*n^2+b*n+c)对一切自然数成立

是否存在abc,使等式1*2^2+2*3^2+3*4^2+…+n(n+1)^2=[n(n+1)/12](a*n^2+b*n+c)对一切自然数成立
证明：
假设存在a,b,c使得等式成立,则可以令n=1,2,3,此时得方程组：
①a+b+c=24；②4a+2b+c=44；③9a+3b+c=70
联立①②③,解得：a=3；b=11；c=10
即1*2^2+2*3^2+3*4^2+……+n*(n+1)^2=[n(n+1)/12](an^2+bn+c)
下面用数学归纳法进行证明：
1.当n=1时,成立(通过前面的计算是成立的)
2.假设当n=k时,等式成立,
即Sk=1*2^2+2*3^2+3*4^2+……+k*(k+1)^2=[k(k+1)/12](3k^2+11k+10)
则当n=k+1时,
Sk+1
=Sk+(k+1)(k+2)
=[k(k+1)/12](3k^2+11k+10)+(k+1)(k+2)
=[(k+1)(k+2)/12][3(k+1)^2+11(k+1)+10]
即当n=k+1时,等式也成立
因此,当a=3,b=11,c=10 时,等式对一切自然数都成立.

有三个公式必须要记住就能解决：
1+2+...+n=n(n+1)/2
1^2+2^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6
1^3+2^3+...+n^3=(n(n+1)/2)^2
n(n+1)^2=n(n^2+2n+1)=n^3+2n^2+n
==(n(n+1)/2)^2+n(n+1)(2n+1)/3+n(n+1)/2
然后你把她整理一下成为[n(n+1)/12](a*n^2+b*n+c)，问题就迎刃而解了。

有啊，a=3 b=11 c=10这个题本来可以列函数的，但我忘了，既然是求三个数的值，那取三个数带进去解一下就行了，分别代n=1和2和3就可以了，解出过后可以换n=4和5进行检验

是否存在常数abc,使得等式1*2^2+2*3^2+.+n(n+1)^n=n(n+1)(an^2+bn+c)/12成立? 是否存在abc,使等式1*2^2+2*3^2+3*4^2+…+n(n+1)^2=[n(n+1)/12](a*n^2+b*n+c)对一切自然数成立是否存在常数abc使得等式1^2-2^2+3^2-4^2+...+[(-1)^n-1]*n^2=[(-1)^n-1]*(an^2+bn+c)是否存在常数abc使得等式1^2-2^2+3^2-4^2+...+(-1)^n-1*n^2=(-1)^n-1*(an^2+bn+c)对一切正整数n都成立.并证明你的结论. 是否存在常数a,b,c,使等式1^2+3^2……(2n-1)^2=an(bn^2+c)/3 是否存在常数a,b使等式1*n+2*(n-1)+3*(n-2)+...+n*1=an*(n+b)(n+2) 是否存在这样的x值,使等式2x的平方+1=0成立?若存在,求出其值,若不存在,请说明理由是否存在常数A,B,C,使等式1*2的平方加2*3的平方一直加到N*（N加1）的平方= 是否存在常数a、b、c,使等式1^2+3^2+5^2……+(2n-1)^2=an/3(bn^2+c),我知道存在，可证明过程中关于abc的三元方程解不出来啊, 是否存在正整数a,b,使得等式a^3+(a+b)^2+b=b^3+a+2成立? 是否存在这样的实数x,满足等式4x^2+1=0,如果存在,请求出x的值,如果不存在,请说明理由是否存在1,2-丁二烯? 是否存在常数a,b使等式1^2/1*3+2^2/3*+.+n^2/(2n-1)(2n+1)=an^2+n/bn+2对一切正实数都成立.要是不会别瞎回答 yi ge 是否存在常数a,b使等式1^2/(1*3)+2^2/(3*5)+.+n^2/(2n-1)*(2n+1)=(a*n^2+n)/(bn+2)对一切n属于N*都成立是否存在常数a,b,c,使等式3^2+5^2+...+(2n+1)^2=[n(4n^2+an+b)]/3,对于任意正整数n成立,并求出a和b的值是否存在常数a、b、c,使等式1*3+3*5+5*7+……+(2n-1)(2n+1)=n*(an^2+bn+c)/3对任意正整数成立?证明. 是否存在常数a、b、c,使等式1*3+3*5+5*7+……+(2n-1)(2n+1)=n*(an^2+bn+c)/3对任意正整数成立?证明是否存在常数a.b使等式1^3+2^3+……n^3=an^2（n+b)^2对于任意正整数都成立?若成立求出ab并证明,不存在说明理由是否存在常数a,b,c,使等式(1/n)3+(2/n)3+(3/n)+.+(n/n)3=(an2+bn+c)/n对一切n属于N*都成立?证明你的结论.