已知数列{an}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和Sn满足Sn²=an(Sn-1/2)(1)求Sn的表达式;(2)设bn=Sn/(2n+1),求{bn}的前n项的和Tn.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/20 02:52:41
![已知数列{an}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和Sn满足Sn²=an(Sn-1/2)(1)求Sn的表达式;(2)设bn=Sn/(2n+1),求{bn}的前n项的和Tn.](/uploads/image/z/677124-36-4.jpg?t=%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E6%95%B0%E5%88%97%7Ban%7D%E4%B8%AD%2Ca1%3D1%2C%E5%BD%93n%E2%89%A52%E6%97%B6%2C%E5%85%B6%E5%89%8Dn%E9%A1%B9%E5%92%8CSn%E6%BB%A1%E8%B6%B3Sn%26%23178%3B%3Dan%EF%BC%88Sn-1%2F2%EF%BC%89%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82Sn%E7%9A%84%E8%A1%A8%E8%BE%BE%E5%BC%8F%EF%BC%9B%EF%BC%882%EF%BC%89%E8%AE%BEbn%3DSn%2F%EF%BC%882n%2B1%EF%BC%89%2C%E6%B1%82%7Bbn%7D%E7%9A%84%E5%89%8Dn%E9%A1%B9%E7%9A%84%E5%92%8CTn.)
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已知数列{an}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和Sn满足Sn²=an(Sn-1/2)(1)求Sn的表达式;(2)设bn=Sn/(2n+1),求{bn}的前n项的和Tn.
已知数列{an}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和Sn满足Sn²=an(Sn-1/2)
(1)求Sn的表达式;
(2)设bn=Sn/(2n+1),求{bn}的前n项的和Tn.
已知数列{an}中,a1=1,当n≥2时,其前n项和Sn满足Sn²=an(Sn-1/2)(1)求Sn的表达式;(2)设bn=Sn/(2n+1),求{bn}的前n项的和Tn.
(1)由[S(n)]^2=a(n)[S(n)-1/2]以及a(n)=S(n)-S(n-1),n≥2得
[S(n)]^2=[S(n)-S(n-1)][S(n)-1/2],n≥2
整理得
2S(n)S(n-1)=S(n-1)-S(n),n≥2
两边同时除以S(n)S(n-1),得
1/S(n)-1/S(n-1)=2,n≥2
可见{1/S(n)}是以1/S(1)=1为首项、2为公差的等差数列,
即1/S(n)=2n-1
所以S(n)=1/(2n-1)
【所以a(n)=S(n)-S(n-1)=1/(2n-1)-1/(2n-3)=﹣2/[(2n-1)(2n-3)]】
(2)b(n)=S(n)/(2n+1)
=1/[2n-1)(2n+1)]
=(1/2)[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
则T(n)=(1/2)[1/1-1/3+1/3-1/5+…+1/(2n-3)-1/(2n-1)+1/(2n-1)-1/(2n+1)]
=(1/2)[1-1/(2n+1)]
=n/(2n+1).
Sn-1/2是什么意思?