lim(x->0）1/(x-asinx) ∫(sinx,0)t^2/(e^b+t^2)dt=1求a,b

lim(x->0）1/(x-asinx) ∫(sinx,0)t^2/(e^b+t^2)dt=1求a,b
lim(x->0）1/(x-asinx) ∫(sinx,0)t^2/(e^b+t^2)dt=1求a,b

lim(x->0）1/(x-asinx) ∫(sinx,0)t^2/(e^b+t^2)dt=1求a,b
首先本极限为0/0型,用洛必达法则
由：∫(sinx,0)t^2/(e^b+t^2)dt求导后为：sin²xcosx/(e^b+sin²x)
原式=lim [sin²x/(e^b+sin²x)]/(1-acosx)
由于该极限为1,而分子极限为0,因此分母极限必为0,则a=1
极限化为：lim [sin²x/(e^b+sin²x)]/(1-cosx)
=lim [sin²x/(1-cosx)*lim [1/(e^b+sin²x)]
前一极限用等价无穷小代换,sin²x等价于x²,1-cosx等价于x²/2
=(1/2)e^(-b)
因此得：(1/2)e^(-b)=1解得：b=-ln2
因此a=1,b=-ln2

x->0时积分∫(sinx,0)t^2/(e^b+t^2)dt->0
是0比0型极限
故根据洛比达法则
原极限=lim(x->0）[1/(1- a cosx) ][sin²x/(e^b+sin²x)]·cosx
=lim(x->0）sin²x·cosx/[(1- a cosx)(e^b+sin²x)]
=lim(x->...

全部展开

x->0时积分∫(sinx,0)t^2/(e^b+t^2)dt->0
是0比0型极限
故根据洛比达法则
原极限=lim(x->0）[1/(1- a cosx) ][sin²x/(e^b+sin²x)]·cosx
=lim(x->0）sin²x·cosx/[(1- a cosx)(e^b+sin²x)]
=lim(x->0）sin²x/[(1- a cosx)(e^b)]
由于x->0时 sinx～x
因此lim(x->0）sin²x/[(1- a cosx)(e^b)]
=lim(x->0）x²/[(1- a cosx)(e^b)]
如果该极限的值为不为0的数，则只能仍是0比0型的极限
因此只能有 lim(x->0）1- a cosx =0
∴a=1
则原式=lim(x->0）x²/[(1- cosx)(e^b)]
=lim(x->0）x²/[(1/2)x²·(e^b)]
= 2/(e^b)
∴ 有 2/(e^b) =1
则b=ln2

收起