作业帮关于高等数学的幂级数的收敛域的问题里面标准展开式中可以看到sinx和e^x的收敛域都是负无穷——正无穷,我想问下是怎么推出来的,我用根值法算的收敛域是-1——1.有人可以解答下吗,1楼的
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/09/01 15:55:47
关于高等数学的幂级数的收敛域的问题里面标准展开式中可以看到sinx和e^x的收敛域都是负无穷——正无穷,我想问下是怎么推出来的,我用根值法算的收敛域是-1——1.有人可以解答下吗,1楼的
关于高等数学的幂级数的收敛域的问题
里面标准展开式中可以看到sinx和e^x的收敛域都是负无穷——正无穷,我想问下是怎么推出来的,我用根值法算的收敛域是-1——1.有人可以解答下吗,
1楼的我看了下，貌似sinx那个不能套你列的这个定理，因为是x的2n-1次幂而不是n次幂，属于缺项类的
关于高等数学的幂级数的收敛域的问题里面标准展开式中可以看到sinx和e^x的收敛域都是负无穷——正无穷,我想问下是怎么推出来的,我用根值法算的收敛域是-1——1.有人可以解答下吗,1楼的
1)LZ说的对,缺项类不能使用定理,必须使用定义来做
2)当级数中有阶乘时,强烈建议使用比值法,不要用根值法
3)LZ你误算出(-1,1)我在下图也推测了一下是哪里错了
具体解答请见下图
幂级数里有一个求收敛半径的定理：
对幂级数∑Anx^n，若lim(n->∞)│An+1/An│=L,或lim(n->∞)√│An│=L
则幂级数∑Anx^n的收敛半径 1/L, 当0
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幂级数里有一个求收敛半径的定理：
对幂级数∑Anx^n，若lim(n->∞)│An+1/An│=L,或lim(n->∞)√│An│=L
则幂级数∑Anx^n的收敛半径 1/L, 当0
0, 当L=+∞.
现在根据这个定理来求它们的收敛域：
（1）∵sinx=∑(-1)^n*x^(2n+1)/(2n+1)!!
其中An=(-1)^n/(2n+1)!!
又lim(n->∞)│An+1/An│=lim(n->∞)[1/(2n+1)]=0
∴根据定理它的收敛半径r=+∞
故它的收敛域是（-∞，+∞）.
（2）∵e^x=∑x^n/n!
其中An=1/n!
又lim(n->∞)│An+1/An│=lim(n->∞)[1/(n+1)]=0
∴根据定理它的收敛半径r=+∞
故它的收敛域是（-∞，+∞）.
说明：当然这两题也可以用定理中的根值法lim(n->∞)√│An│=L来求出收敛半径，结果一样。
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