作业帮一道数学不等式的证明实数a,b,c的绝对值都小于1,求证：ab+bc+ac+1>0
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/27 22:02:15
一道数学不等式的证明实数a,b,c的绝对值都小于1,求证：ab+bc+ac+1>0
一道数学不等式的证明
实数a,b,c的绝对值都小于1,求证：ab+bc+ac+1>0
一道数学不等式的证明实数a,b,c的绝对值都小于1,求证：ab+bc+ac+1>0
证明：将字母a作为变元,构造函数
f（x）＝（b＋c）x＋bc＋1
只证｜x｜＜1时f（x）＞0
而f（1）＝b＋c＋bc＋1＝（b＋1）（c＋1）＞0
f（－1）＝－b－c＋bc＋1＝（b－1）（c－1）＞0
且f（x）是有单调性
∴－1＜x＜1时,f（x）位于f（－1）与f（－1）之间
即｜a｜＜1时,f（a）＝ab＋bc＋ac＋1＞0成立．
ab+bc+ac+1>0
你可以取特值，再根据特值推导出证明！
对不起，我只能说这么多了！
证明：构造函数 f(a)
f（a）＝（b＋c）a＋bc＋1
只证｜a｜＜1时f（a）＞0
而f（1）＝b＋c＋bc＋1＝（b＋1）（c＋1）＞0
f（－1）＝－b－c＋bc＋1＝（b－1）（c－1）＞0
且f（a）是有单调性
而－1＜a＜1时，f（a）位于f（－1）与f（－1）之间
所以当｜a｜＜1时，f（a）＝ab＋bc＋ac＋...
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证明：构造函数 f(a)
f（a）＝（b＋c）a＋bc＋1
只证｜a｜＜1时f（a）＞0
而f（1）＝b＋c＋bc＋1＝（b＋1）（c＋1）＞0
f（－1）＝－b－c＋bc＋1＝（b－1）（c－1）＞0
且f（a）是有单调性
而－1＜a＜1时，f（a）位于f（－1）与f（－1）之间
所以当｜a｜＜1时，f（a）＝ab＋bc＋ac＋1＞0成立．
收起
ab+bc+ac+1
=1+((a+c)^2+(b+c)^2+(a+b)^2)/2-a^2-b^2-c^2
假设b为一固定的数，
则当a+c=0时，ab+bc+ac+1最小，
ab+bc+ac+1
>=1+((b+a)^2+(b-a)^2)/2-2a^2-b^2
=1+a^2+b^2-2a^2-b^2
=1-a^2>0
得证