作业帮x平方+y平方-2z平方=0与x+y+3z=5确定的曲线到x0y面的最大最小距离是这里的L=z+λ(x^2+y^2-2z^2)+μ(x+y+3z-5)为什么要这么令
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/25 00:38:37
x平方+y平方-2z平方=0与x+y+3z=5确定的曲线到x0y面的最大最小距离是这里的L=z+λ(x^2+y^2-2z^2)+μ(x+y+3z-5)为什么要这么令
x平方+y平方-2z平方=0与x+y+3z=5确定的曲线到x0y面的最大最小距离是
这里的L=z+λ(x^2+y^2-2z^2)+μ(x+y+3z-5)
为什么要这么令
x平方+y平方-2z平方=0与x+y+3z=5确定的曲线到x0y面的最大最小距离是这里的L=z+λ(x^2+y^2-2z^2)+μ(x+y+3z-5)为什么要这么令
答：
设点M(x,y,z)在曲线上,则点M到xOy面距离为:z
令L=z+λ(x^2+y^2-2z^2)+μ(x+y+3z-5)
令
Lx=2λx+μ=0；
Ly=2λy+μ=0;
Lz=1-4λz+3μ=0;
Lλ=x^2+y^2-2z^2=0;
Lμ=x+y+3z-5=0
解得：x=1,y=1,z=1,λ=1/10,μ=-1/5
或x=-5,y=-5,z=5,λ=-1/10,μ=-1
所以当M为(1,1,1)时,有最小距离z=1;
所以当M为(-5,-5,5)时,有最大距离z=5
这是《高等数学》中“多元函数微分法及其应用”一章的内容,本题涉及的是“多元函数的极值及其求法”知识.
上述方法称为拉格朗日乘数法,L(x,y)=f(x,y)+λg(x,y),其中L(x,y)称为拉格朗日函数,λ是拉格朗日因子.
拉格朗日乘数法结论如下：要找函数m=f(x,y)在附加条件g(x,y)=0下可能的极值点,作拉格朗日函数：L(x,y)=f(x,y)+λg(x,y),其中λ是参数,然后求所有变量即x,y,λ的一阶偏导数并使之为0,联立解出来,(x,y)就是f(x,y)在附加条件g(x,y)=0下可能的极值点.代入f(x,y)得极值.
本题为例：目标函数就是点M到面xOy的距离,显然就是M的竖坐标z.而x^2+y^2-2z^2=0和x+y+3z=5就是附加条件.
练习多了就熟了,做做这个例题：
求函数u=xyz在附加条件1/x+1/y+1/z=1/a (x,y,z,a>0)下的极值.
(答案：x=y=z=3a时,有极值27a^3)
有什么不懂的请再问.