设V是一个n维欧式空间,a1,a2,.,am是V中的正交向量组,令:W={α | (a,ai)=0,α∈ V ,i=1,2,...m}证明:W是V的一个子空间证明:W的正交补 =L(a1,12,...an)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/06/30 09:01:42
![设V是一个n维欧式空间,a1,a2,.,am是V中的正交向量组,令:W={α | (a,ai)=0,α∈ V ,i=1,2,...m}证明:W是V的一个子空间证明:W的正交补 =L(a1,12,...an)](/uploads/image/z/6833409-33-9.jpg?t=%E8%AE%BEV%E6%98%AF%E4%B8%80%E4%B8%AAn%E7%BB%B4%E6%AC%A7%E5%BC%8F%E7%A9%BA%E9%97%B4%2Ca1%2Ca2%2C.%2Cam%E6%98%AFV%E4%B8%AD%E7%9A%84%E6%AD%A3%E4%BA%A4%E5%90%91%E9%87%8F%E7%BB%84%2C%E4%BB%A4%EF%BC%9AW%3D%7B%CE%B1+%7C+%28a%2Cai%29%3D0%2C%CE%B1%E2%88%88+V+%2Ci%3D1%2C2%2C...m%7D%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9AW%E6%98%AFV%E7%9A%84%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%AD%90%E7%A9%BA%E9%97%B4%E8%AF%81%E6%98%8E%EF%BC%9AW%E7%9A%84%E6%AD%A3%E4%BA%A4%E8%A1%A5+%3DL%28a1%2C12%2C...an%29)
设V是一个n维欧式空间,a1,a2,.,am是V中的正交向量组,令:W={α | (a,ai)=0,α∈ V ,i=1,2,...m}证明:W是V的一个子空间证明:W的正交补 =L(a1,12,...an)
设V是一个n维欧式空间,a1,a2,.,am是V中的正交向量组,令:
W={α | (a,ai)=0,α∈ V ,i=1,2,...m}
证明:W是V的一个子空间
证明:W的正交补 =L(a1,12,...an)
设V是一个n维欧式空间,a1,a2,.,am是V中的正交向量组,令:W={α | (a,ai)=0,α∈ V ,i=1,2,...m}证明:W是V的一个子空间证明:W的正交补 =L(a1,12,...an)
证明:(1) 对任意a,b∈W, k∈F (a,ai)=0, (b,ai)=0, i=1,2,...,m 所以 (a+b,ai)=(a,ai)+(b,ai)=0 (ka,ai)=k(a,ai)=0, i=1,2,...,m 所以 a+b,ka∈W 所以 W是V的一个子空间. (2) 由a1,a2,...,am是V中的正交向量组 故 a1,a2,...,am 线性无关, 可扩充为V的一组基 a1,a2,...,am,am+1,...,an 将 am+1,...,an 正交化得与其等价的正交向量组 bm+1,...,bn 所以 a1,a2,...,am,bm+1,...,bn 是V的一组正交基 易见 W=L(bm+1,...,bn), W与L(a1,a2,...,am)正交, dimW+dim(L(a1,a2,...,am))=n 所以 W的正交补 =L(a1,a2,...,am).
注: W=L(bm+1,...,bn)
因为 a1,a2,...,am,bm+1,...,bn 是V的一组正交基所以 bi 与 aj 正交, 所以 bi∈W所以 L(bm+1,...,bn)包含在W中.反之, 对W中任一向量a, 有(a,ai)=0, i=1,2,...,m且 a 可表示为 a = k1a1+k2a2+...kmam+km+1bm+1+...+knbn则 k1a1+k2a2+...kmam = a -km+1bm+1-...-knbn两边对ai作内积得 ki(ai,ai)=0, 故ki=0, i=1,2,...,m所以 a = km+1bm+1+...+knbn ∈L(bm+1,...,bn)综上, W=L(bm+1,...,bn).