空间向量证明题!已知点O是平行六面体ABCD-A1B1C1D1对角线的交点,点P是空间任意一点.证明:向量PA+向量PB+向量PC+向量PD+向量PA1+向量PB1+向量PC1+向量PD1=8向量PO
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/05 16:54:08
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空间向量证明题!已知点O是平行六面体ABCD-A1B1C1D1对角线的交点,点P是空间任意一点.证明:向量PA+向量PB+向量PC+向量PD+向量PA1+向量PB1+向量PC1+向量PD1=8向量PO
空间向量证明题!
已知点O是平行六面体ABCD-A1B1C1D1对角线的交点,点P是空间任意一点.
证明:向量PA+向量PB+向量PC+向量PD+向量PA1+向量PB1+向量PC1+向量PD1=8向量PO
空间向量证明题!已知点O是平行六面体ABCD-A1B1C1D1对角线的交点,点P是空间任意一点.证明:向量PA+向量PB+向量PC+向量PD+向量PA1+向量PB1+向量PC1+向量PD1=8向量PO
楼上想法够搞笑的,是向量PA之类的PA还能分家啊?
PO=PA+AO=PB+BO=PC+CO=PD+DO=PA1+A1O=PB1+B1O=PC1+C1O=PD1+D1O
AO+C1O=BO+D1O=CO+A1O=DO+B1O=0
8PO=PA+AO+PB+BO+PC+COPD+DOPA1+A1O+PB1+B10+PC1+C1O+PD1+D1O
=向量PA+向量PB+向量PC+向量PD+向量PA1+向量PB1+向量PC1+向量PD1+
AO+C1O+BO+D1O+CO+A1O+DO+B1O=
向量PA+向量PB+向量PC+向量PD+向量PA1+向量PB1+向量PC1+向量PD1
O是重心,所以O=(A+B+C+D+A1+B1+C1+D1)/8
两边去减P,得到
8(P-O)=P-(A+B+C+D+A1+B1+C1+D1)
这就是你要证明的。
设AB中点M,CD中点N,MN的中点Q,显然Q就是平行四边形ABCD的对角线的交点
则:向量PA+向量PB+向量PC+向量PD
=(向量PA+向量PB)+(向量PC+向量PD)
=2向量PM+2向量PN
=2(向量PM+向量PN)
=2*2向量PQ
=4向量PQ
设:Q1是平行四边形A1B1C1D1的对角线的交点
同理可证:向量PA1...
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设AB中点M,CD中点N,MN的中点Q,显然Q就是平行四边形ABCD的对角线的交点
则:向量PA+向量PB+向量PC+向量PD
=(向量PA+向量PB)+(向量PC+向量PD)
=2向量PM+2向量PN
=2(向量PM+向量PN)
=2*2向量PQ
=4向量PQ
设:Q1是平行四边形A1B1C1D1的对角线的交点
同理可证:向量PA1+向量PB1+向量PC1+向量PD1=4向量PQ1
显然0是QQ1的中点,
所以:向量PQ+向量PQ1=2向量PO
所以:
向量PA+向量PB+向量PC+向量PD+向量PA1+向量PB1+向量PC1+向量PD1
=4向量PQ+4向量PQ1
=4(向量PQ+向量PQ1)
=4*2向量PO
=8向量PO
收起