一个集合有N个元素,证明存在一个子集,元素和能被N整除思考了一个小时没有结果.TOT

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/06 08:33:06
一个集合有N个元素,证明存在一个子集,元素和能被N整除思考了一个小时没有结果.TOT
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一个集合有N个元素,证明存在一个子集,元素和能被N整除思考了一个小时没有结果.TOT
一个集合有N个元素,证明存在一个子集,元素和能被N整除
思考了一个小时没有结果.TOT

一个集合有N个元素,证明存在一个子集,元素和能被N整除思考了一个小时没有结果.TOT
这难道不是显然的吗?
设这N个元素是:{a1,a2,...,aN}
考察下面N个子集:{a1},{a1,a2},{a1,a2,a3},...,{a1,a2,a3,...,aN}
这N个子集有个特点:后面的集合包含前面的.
一共N个子集,要么有1个能被N整除,要么有2个除N后余数相同(抽屉原则).如果是后面一种情形,那2个子集的差集就能被N整除.

随便想的,抛砖引玉吧。
N个数中任意元素的和构成新的集合M
显然N是M的子集
将M中含有不相同角标的元素拿出来(说不清楚)如a2+a3 和a1+a4(意会一下)这样拆成了两个集合A和B,M=A并B再并A+B;
显然A和B中的元素均大于N个,{A+B}的元素也大于N个;
注意到A、B的元素被N除只能有0,1……N-1种余数,所以如果A+B的话,必然有余数互补的...

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随便想的,抛砖引玉吧。
N个数中任意元素的和构成新的集合M
显然N是M的子集
将M中含有不相同角标的元素拿出来(说不清楚)如a2+a3 和a1+a4(意会一下)这样拆成了两个集合A和B,M=A并B再并A+B;
显然A和B中的元素均大于N个,{A+B}的元素也大于N个;
注意到A、B的元素被N除只能有0,1……N-1种余数,所以如果A+B的话,必然有余数互补的吧……不是太清楚呵呵。
A+B是N个元素和得一个子集,

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这题需要运用抽屉原理,很抽象的概念
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楼主这个题目还是有问题的,对这个n元集必须做一个限定。否则作为反例我举出{π}这个一元集即可。这个问题的本质实际上是这样的一个简单事实:“一个正整数n总可以分解成若干项正整数的和,且项数至少为1,至多为n”(这点很重要!)。我自己做了下,因为是整除问题,所以限定n元集中的元素为整数。其实因为原n元集中元素互不相同,如果其中任一个元素都不能被n整除(即排除了取其一元子集的情形),那么其中必有两个元素...

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楼主这个题目还是有问题的,对这个n元集必须做一个限定。否则作为反例我举出{π}这个一元集即可。这个问题的本质实际上是这样的一个简单事实:“一个正整数n总可以分解成若干项正整数的和,且项数至少为1,至多为n”(这点很重要!)。我自己做了下,因为是整除问题,所以限定n元集中的元素为整数。其实因为原n元集中元素互不相同,如果其中任一个元素都不能被n整除(即排除了取其一元子集的情形),那么其中必有两个元素对模n同余。只要注意到这个事实实际上已经足够了。要标准的证明的话,证明过程有点长,我引入了双重下标,手机上没办法打,给你说下方法。用数学归纳法。一元集的情形是显然的,设对于n-1元集命题成立,去证明n元集的情形。证明过程中为使下标简单,应当进行适当的元素重排。你可以先把原n元集的任意一个n-1元子集的满足整除条件的r元子集表示出来,这r个元素的和应当为k(n-1)的形式。然后分k为n的倍数和不为n的倍数两种情况讨论即可(后一种情况可以用带余除法表示为适当形式后讨论,要用到抽屉原理)。

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应该不算空集吧……

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