已知a,b,c,x,y,z都是非零实数,且a^2+b^2+c^2=x^2+y^2+c^2=ax+by+cz,求证:x/a=y/b=z/c.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/02 14:27:23
已知a,b,c,x,y,z都是非零实数,且a^2+b^2+c^2=x^2+y^2+c^2=ax+by+cz,求证:x/a=y/b=z/c.
已知a,b,c,x,y,z都是非零实数,且a^2+b^2+c^2=x^2+y^2+c^2=ax+by+cz,求证:x/a=y/b=z/c.
已知a,b,c,x,y,z都是非零实数,且a^2+b^2+c^2=x^2+y^2+c^2=ax+by+cz,求证:x/a=y/b=z/c.
方法一:
由柯西不等式可得:
(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+c^2)≤(ax+by+cz)^2
当且仅当x/a=y/b=z/c时等号成立
由已知:(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+c^2)=(ax+by+cz)^2
∴x/a=y/b=z/c
方法二:
构造方程:(a^2+b^2+c^2)t^2-2(ax+by+cz)t+(x^2+y^2+c^2)=0
∵△=[-2(ax+by+cz)]^2-4·(a^2+b^2+c^2)(x^2+y^2+c^2)=0
∴上述一元二次方程有两个相等的实数根
另一方面,一元二次方程(a^2+b^2+c^2)t^2-2(ax+by+cz)t+(x^2+y^2+c^2)=0可以化成:
(a^2t^2-2axt+x^2)+(b^2t^2-2byt+y^2)+(c^2t^2-2czt+z^2)=0
∴(at-x)^2+(bt-y)^2+(ct-z)^2=0
∴at-x=bt-y=ct-z=0
又方程有两个相等实数根
∴t=a/x=b/y=c/z
a^2+b^2+c^2=x^2+y^2+c^2=ax+by+cz
a^2+b^2+c^2+x^2+y^2+c^2-2(ax+by+cz)=0
(a-x)^2+(b-y)^2+(c-z)^2=0
所以a=x,b=y,c=z
x/a=y/b=z/c