椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上存在一点P,使得OP⊥AP(O为原点,A为长轴端点),求椭圆离心率的范围为

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/14 14:44:28
椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上存在一点P,使得OP⊥AP(O为原点,A为长轴端点),求椭圆离心率的范围为
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椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上存在一点P,使得OP⊥AP(O为原点,A为长轴端点),求椭圆离心率的范围为
椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上存在一点P,使得OP⊥AP(O为原点,A为长轴端点),求椭圆离心率的范围为

椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)上存在一点P,使得OP⊥AP(O为原点,A为长轴端点),求椭圆离心率的范围为
这道题目做过的,就直接截图给你了,上面给你加了注释.

设A(a,0),P(x,y)
OP⊥AP
y/x*y/(x-a)=-1
或者
(OP^2+AP^2=OA^2
即x^2+y^2+(x-a)^2+y^2=a^2)
即x^2+y^2-ax=0 (1)
又x2/a2+y2/b2=1
y^2=b^2(1-x^2/a^2) (2)
代入(1)得
x^2+[b^2(1...

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设A(a,0),P(x,y)
OP⊥AP
y/x*y/(x-a)=-1
或者
(OP^2+AP^2=OA^2
即x^2+y^2+(x-a)^2+y^2=a^2)
即x^2+y^2-ax=0 (1)
又x2/a2+y2/b2=1
y^2=b^2(1-x^2/a^2) (2)
代入(1)得
x^2+[b^2(1-x^2/a^2)]-ax=0
a^2x^2+a^2b^2-b^2x^2-a^3x=0
c^2x^2-a^3x+a^2b^2=0
由于x是存在的,因此
△=a^6-4c^2*a^2b^2≥0
a^4-4c^2b^2≥0
a^4-4c^2(a^2-c^2)≥0
两端除以a^4得
1-4e^2(1-e^2)≥0
令e^2=t
1-4t(1-t)≥0
4t^2-4t+1≥0
(2t-1)^2≥0
故△≥0始终成立呀

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