△ABC的三边长分别为4,5,6,p为三角形内部任意一点,p到三边的距离分别为x,y,z,求x²+y²+z²

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/28 19:45:36
△ABC的三边长分别为4,5,6,p为三角形内部任意一点,p到三边的距离分别为x,y,z,求x²+y²+z²
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△ABC的三边长分别为4,5,6,p为三角形内部任意一点,p到三边的距离分别为x,y,z,求x²+y²+z²
△ABC的三边长分别为4,5,6,p为三角形内部任意一点,p到三边的距离分别为x,y,z,求x²+y²+z²

△ABC的三边长分别为4,5,6,p为三角形内部任意一点,p到三边的距离分别为x,y,z,求x²+y²+z²
证明:下面给出更一般的结论.
设P是任意△ABC中的一个动点,P到△ABC的三边BC,CA,AB的距离分别是X、Y、Z,令BC=a,CA=b,AB=c,S是△ABC的面积.
根据面积公式,显然有:
a*X+b*Y+c*Z=2S (1)
由柯西不等式得:
(a^2+b^2+c^2)*(X^2+Y^2+Z^2)≥(a*X+b*Y+c*Z)^2==4S^2
所以有
X^2+Y^2+Z^2≥4S^2/(a^2+b^2+c^2) (2)
当且仅当P为△ABC的类似重心时等号成立.
因此对于任意△ABC,X^2+Y^2+Z^2的最小值为:
4S^2/(a^2+b^2+c^2).
根据（海伦公式）（p=(a+b+c)/2）
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] =15（√7）/2,从而得出最小值225/11.

15.75

根据面积公式，显然有:
a*X+b*Y+c*Z=2S (1)
由柯西不等式得:
(a^2+b^2+c^2)*(X^2+Y^2+Z^2)≥(a*X+b*Y+c*Z)^2==4S^2
所以有
X^2+Y^2+Z^2≥4S^2/(a^2+b^2+c^2) (2)
当且仅当P为△ABC的类似重心时等号成立。
因此对于任意△ABC，X^2...

全部展开

根据面积公式，显然有:
a*X+b*Y+c*Z=2S (1)
由柯西不等式得:
(a^2+b^2+c^2)*(X^2+Y^2+Z^2)≥(a*X+b*Y+c*Z)^2==4S^2
所以有
X^2+Y^2+Z^2≥4S^2/(a^2+b^2+c^2) (2)
当且仅当P为△ABC的类似重心时等号成立。
因此对于任意△ABC，X^2+Y^2+Z^2的最小值为:
4S^2/(a^2+b^2+c^2).
根据（海伦公式）（p=(a+b+c)/2）
S=√[p(p-a)(p-b)(p-c)] =15（√7）/2，从而得出最小值225/11。

收起

自己动动脑筋，相信自己行！

△ABC的三边长分别为4,5,6,p为三角形内部任意一点,p到三边的距离分别为x,y,z,求x²+y²+z² △ABC的三边长分别为6,8,12,△A1B1C1的三边长分别为2,3,2.5,△A2B2C2的三边长分别为6,3,4,则△ABC与_____相似. 三角形ABC三边长分别为4,5,6,P为三角形内部任意一点,P到三边距离分别为x,y,z,求x^2+y^2+z^2的最小值. 已知三角形ABC三边长分别为4,5,6,则三角形ABC的内切圆的半径是 在三角形ABC中,三边长分别为4,6,8判断三角形的形状 已知△ABC的三边长分别为1,5 ,X,周长为整数则△ABC的形状是? 三角形ABC的三边长分别为3,4,5,p为平面ABC外一点,它到三边的距离都等于2,则平面ABC的距离为 一个三角形的三边长分别为abc,那么可以根据海伦三角形公式,设三边长为4,6,8.那么这个三角形的面积是 已知三角形ABC全等于三角形DEF,三角形ABC的三边长分别为3,m,n,三角形DEF的三边长分别为5,p,q,若三角形的三边长均为整数,试求m+n+q+p的最大值 △ABC的三边长分别为4,9,×,求△ABC周长的取值范围 若三角形ABC的三边长分别为4,5,7,则三角形ABC的面积是 内切圆半径是 已知三角形的三边长分别为abc,三角形中有一点P,过P作三边的平行线,长度均为x,试用abc表示x 已知三边长分别为4、5、6的三角形ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆,P为球面上一点,若点P到三角形ABC三个顶点的距离都相等,则三棱锥P-ABC的体积为多少我主要就想知道 外接圆半径怎么求 不要 Rt△ABC三边长分别为x,x+1和5,则△ABC的周长为（ ),△ABC的面积为（ ） △ABC的三条边长分别是3,4,5,点P为△ABC内切圆上一点,求PA+PB+PC的最大值,最小值 已知△ABC的三边长分别为a,b,c,周长为6,且a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca,则△ABC的三边长分别为? △abc的边长分别为3,4,5,如果三顶点a,b,c到平面的距离均为6/5,那么满足条件的△abc的边长分别为3、4、5,如果三顶点a、b、c到平面的距离均为6/5,那么满足条件的平面共有多少个 已知△ABC三边长分别为8,15,17请计算三角形内切圆的面积