如图,在三角形ABC中,∠A=60度,BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线,BD、CE相交于点O,求证:OD=OE
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/31 19:08:42
![如图,在三角形ABC中,∠A=60度,BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线,BD、CE相交于点O,求证:OD=OE](/uploads/image/z/6870675-3-5.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%9C%A8%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2ABC%E4%B8%AD%2C%E2%88%A0A%3D60%E5%BA%A6%2CBD%E3%80%81CE%E5%88%86%E5%88%AB%E6%98%AF%E2%88%A0ABC%E3%80%81%E2%88%A0ACB%E7%9A%84%E5%B9%B3%E5%88%86%E7%BA%BF%2CBD%E3%80%81CE%E7%9B%B8%E4%BA%A4%E4%BA%8E%E7%82%B9O%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9AOD%3DOE)
如图,在三角形ABC中,∠A=60度,BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线,BD、CE相交于点O,求证:OD=OE
如图,在三角形ABC中,∠A=60度,BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线,BD、CE相交于点O,求证:OD=OE
如图,在三角形ABC中,∠A=60度,BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线,BD、CE相交于点O,求证:OD=OE
证明:
作OM⊥AB于M,ON⊥AC于N,OP⊥BC于P
∵BD平分∠ABC
∴OM=OP
∵CE平分∠ACB
∴ON=OP
∴OM=ON
∵∠A=60º
∴∠ABC+∠ACB=120º
∴∠OBC+OCB=½(∠ABC+∠ACB)=60º
∴∠EOD=∠BOC=120º
∵∠AMO+∠ANO=90º+90º=180º
∴∠A+∠MON=180º
∴∠MON=120º=∠EOD
∴∠MOE=∠NOD【在同一顶点的两个角相等,相当于一个角绕此点旋转,两边旋转角度相等】
又∵∠EMO=∠DNO=90º,OM=ON
∴⊿EMO≌⊿DNO(ASA)
∴OD=OE
作OP垂直于BC于P,OM垂直于AB于M,ON垂直于AC,则由角平分线性质知OP=OM=ON。然后证明三角形OME全等于三角形OND(AAS)得OC=OD
证明:∵∠A=60°,则∠ABC+∠ACB=120°;BD和CE均为角平分线.
∴∠BOE=∠COD=∠OBC+∠OCB=60°;∠BOC=120°.
在BC上截取BF=BE,连接OF.
∵BF=BE;BO=BO;∠FBO=∠EBO.
∴⊿OBF≌⊿OBE,OF=OE,∠BOF=∠BOE=60°.
∴∠COF=60°=∠COD;又CO=CO;∠FCO=∠DC...
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证明:∵∠A=60°,则∠ABC+∠ACB=120°;BD和CE均为角平分线.
∴∠BOE=∠COD=∠OBC+∠OCB=60°;∠BOC=120°.
在BC上截取BF=BE,连接OF.
∵BF=BE;BO=BO;∠FBO=∠EBO.
∴⊿OBF≌⊿OBE,OF=OE,∠BOF=∠BOE=60°.
∴∠COF=60°=∠COD;又CO=CO;∠FCO=∠DCO.
则⊿FCO≌⊿DCO(ASA),OF=OD.
∴OD=OE.
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