作业帮设P是正三角形ABC外接圆的劣弧BC上任意一点,求证：PB+PC=PA,PB*PC=PA^2-PB^2
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 09:28:31
设P是正三角形ABC外接圆的劣弧BC上任意一点,求证：PB+PC=PA,PB*PC=PA^2-PB^2
设P是正三角形ABC外接圆的劣弧BC上任意一点,求证：PB+PC=PA,PB*PC=PA^2-PB^2
设P是正三角形ABC外接圆的劣弧BC上任意一点,求证：PB+PC=PA,PB*PC=PA^2-PB^2
证明：延长PC至D点,使得PA=PD,连接AD.
∵∠DPA=∠CBA=60°,∴⊿PAD是等边三角形,
∴DA=PA
∵AB=AC,PA=AD,∠BAP=∠CAB-∠PAC=∠DAP-∠PAC,
∴⊿APB≌⊿ACD∴BP=CD
∴PA=PC+CD=PC+PB,即PA=PB+PC
1、（1）延长BP，截取PM=PC，连接CM
∵△ABC是等边三角形
∴AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°
∵圆是△ABC外接圆
∴∠CPM=∠BAC=60°
∴△CPM是等边三角形（做PM=PC)
∴PC=CM
在△APC和△BMC中
AC=BC，∠BMC=∠APC=∠ABC=60°
∠CAP=∠CBP=∠CB...
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1、（1）延长BP，截取PM=PC，连接CM
∵△ABC是等边三角形
∴AC=BC，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°
∵圆是△ABC外接圆
∴∠CPM=∠BAC=60°
∴△CPM是等边三角形（做PM=PC)
∴PC=CM
在△APC和△BMC中
AC=BC，∠BMC=∠APC=∠ABC=60°
∠CAP=∠CBP=∠CBM
∴△APC≌△BMC(AAS)
∴PA=BM=PB+PM=PB+PC
(2)、证明：在PA上截取PD=PC，
∵AB=AC=BC，
∴∠APB=∠APC=60°，
∴△PCD为等边三角形，
∴∠PCD=∠ACB=60°，CP=CD，
∴∠PCD-∠DCM=∠ACB-∠DCM，即∠ACD=∠BCP，
在△ACD和△BCP中，
AC=BC∠ACD=∠BCPCP=CD，
∴△ACD≌△BCP，
∴AD=PB，
∴PA=PB+PC；
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