一道导数题,求高手~~已知f(x)=ax-lnx,x属于(0,e】,g(x)=lnx/x,其中e是自然数,a属于R.(1)讨论a=1,f(x)的单调性,极值(2)求证:在(1)的条件下,f(x)>g(x)+1/2(3)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3,若存在,求
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/27 23:13:23
一道导数题,求高手~~已知f(x)=ax-lnx,x属于(0,e】,g(x)=lnx/x,其中e是自然数,a属于R.(1)讨论a=1,f(x)的单调性,极值(2)求证:在(1)的条件下,f(x)>g(x)+1/2(3)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3,若存在,求
一道导数题,求高手~~
已知f(x)=ax-lnx,x属于(0,e】,g(x)=lnx/x,其中e是自然数,a属于R.
(1)讨论a=1,f(x)的单调性,极值
(2)求证:在(1)的条件下,f(x)>g(x)+1/2
(3)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3,若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
问(2),网上的答案都是当成两个函数做的,可x是同一个自变量,万一求出来的f(x)最小值>g(x)最大值怎么办,我想建立函数做,即把式子挪向一侧,可是所建函数的最小值不会求.求大神帮帮我~~
一道导数题,求高手~~已知f(x)=ax-lnx,x属于(0,e】,g(x)=lnx/x,其中e是自然数,a属于R.(1)讨论a=1,f(x)的单调性,极值(2)求证:在(1)的条件下,f(x)>g(x)+1/2(3)是否存在实数a,使f(x)的最小值是3,若存在,求
前两问比较简单,求导讨论单调性的过程我就省去了.
(1)f(x)在(0,1)递减,(1,e]递增.在(0,e]上有极小值1.
(2)注意到f(x)在(0,e]的最小值为1.
易知g(x)在x=e时取得最大值为1/e,1/e+1/2<1/2+1/2=1.
故f(x)>g(x)+1/2恒成立.
PS:第(2)问这种题型一般是按你说的合到一起来做,但这题比较特殊不用,因为左边的最小值大于右边的最大值.如果是最小值小于右边最大值,那么就需要合到一起了,那样的话计算量比较大.适当的时候注意下形式可以简化很多运算.
(3)
f’(x)=(ax-1)/x,x∈(0,e].
注意到1/x>0恒成立,故只需讨论分式上面.
记h(x)=ax-1.
①当a=0时,h(x)=-1<0恒成立.
②当a<0时,h(x)<0恒成立.
③当0<a≤1/e时,h(x)在(0,e]上小于0恒成立.
④当a>1/e时,h(x)在(0,1/a)上小于0,(1/a,e]上大于0.
∴a≤1/e时,f(x)在(0,e]上递减;a>1/e时,f(x)在(0,1/a)上递减,(1/a,e]上递增.
当a≤1/e时,f(x)min=f(e)=ae-1.
令ae-1=3,得a=4/e>1/e,故此时不存在.
a>1/e时,f(x)min=f(1/a)=1-ln(1/a)=1+lna.
令1+lna=3,得a=e²>1/e成立,故此时存在.
综上,当a=e²时,f(x)在(1,e]上的最小值为3.