如图,已知点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°.(1)求证:AD=BD;(2)E为AD延长线上的一点,且CE=CA,求证:AD+CD=DE;(3)当BD=2时,AC的长为 _______(直接填出结果,不要求写过程)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/11 08:32:38
![如图,已知点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°.(1)求证:AD=BD;(2)E为AD延长线上的一点,且CE=CA,求证:AD+CD=DE;(3)当BD=2时,AC的长为 _______(直接填出结果,不要求写过程)](/uploads/image/z/6892450-34-0.jpg?t=%E5%A6%82%E5%9B%BE%2C%E5%B7%B2%E7%9F%A5%E7%82%B9D%E4%B8%BA%E7%AD%89%E8%85%B0%E7%9B%B4%E8%A7%92%E2%96%B3ABC%E5%86%85%E4%B8%80%E7%82%B9%2C%E2%88%A0CAD%3D%E2%88%A0CBD%3D15%C2%B0%EF%BC%8E%EF%BC%881%EF%BC%89%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9AAD%3DBD%EF%BC%9B%EF%BC%882%EF%BC%89E%E4%B8%BAAD%E5%BB%B6%E9%95%BF%E7%BA%BF%E4%B8%8A%E7%9A%84%E4%B8%80%E7%82%B9%2C%E4%B8%94CE%3DCA%2C%E6%B1%82%E8%AF%81%EF%BC%9AAD%2BCD%3DDE%EF%BC%9B%EF%BC%883%EF%BC%89%E5%BD%93BD%3D2%E6%97%B6%2CAC%E7%9A%84%E9%95%BF%E4%B8%BA+_______%EF%BC%88%E7%9B%B4%E6%8E%A5%E5%A1%AB%E5%87%BA%E7%BB%93%E6%9E%9C%2C%E4%B8%8D%E8%A6%81%E6%B1%82%E5%86%99%E8%BF%87%E7%A8%8B%EF%BC%89)
如图,已知点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°.(1)求证:AD=BD;(2)E为AD延长线上的一点,且CE=CA,求证:AD+CD=DE;(3)当BD=2时,AC的长为 _______(直接填出结果,不要求写过程)
如图,已知点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°.
(1)求证:AD=BD;
(2)E为AD延长线上的一点,且CE=CA,求证:AD+CD=DE;
(3)当BD=2时,AC的长为 _______(直接填出结果,不要求写过程)
如图,已知点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°.(1)求证:AD=BD;(2)E为AD延长线上的一点,且CE=CA,求证:AD+CD=DE;(3)当BD=2时,AC的长为 _______(直接填出结果,不要求写过程)
(1)证明:因为ABC是等腰直角三角形
所以角BAC=角ABC=45度
因为角CAD=角CBD=15度
因为角BAD=角BAC-角CAD=30度
角ABD=角ABC-角CBD=30度
所以角BAD=角ABD
所以AD=BD
(2)因为三角形ACB是等腰直角三角形
所以BC=AC
角ACB=90度
角BAD=角ABD=30度(已证)
在DE上取DF=BD,连接BF,BE
因为角BDF=角BAD+角ABD=60度
所以三角形BDF是等边三角形
所以BD=BF=BF
角DBF=角CBD+角FBC=60度
因为AC=CE
所以角CAE=角AEC=15度
因为角CAE+角AEC+角ACE=180度
所以角ACE=角ACB+角BCE=150度
所以角BCE=60度
因为AC=AE
所以BC=CE
所以三角形BCE是等边三角形
所以BC=BE
角CBE=角CBF+角CBF=60度
所以角CBD=角CBF
因为BD=BF(已证)
BC=BE(已证)
所以三角形CBD和三角形EBF全等(SAS)
所以CD=EF
因为DE=DF+EF
所以AD+CD=DE
(3)AC=根号6
证明:(1)∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠BAC=∠ABC=45°,
∵∠CAD=∠CBD=15°,
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°,
∴BD=AD,
∴D在AB的垂直平分线上,
∵AC=BC,
∴C也在AB的垂直平分线上,
即直线CD是AB的垂直平分线,
∴∠ACD=∠BCD=45°,
∴∠CDE=...
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证明:(1)∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠BAC=∠ABC=45°,
∵∠CAD=∠CBD=15°,
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°,
∴BD=AD,
∴D在AB的垂直平分线上,
∵AC=BC,
∴C也在AB的垂直平分线上,
即直线CD是AB的垂直平分线,
∴∠ACD=∠BCD=45°,
∴∠CDE=15°+45°=60°=∠BDE,
即DE平分∠BDC.
∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°;
(2)如图,连接MC.
∵DC=DM,且∠MDC=60°,
∴△MDC是等边三角形,即CM=CD.∠DMC=∠MDC=60°,
∵∠ADC+∠MDC=180°,∠DMC+∠EMC=180°,
∴∠EMC=∠ADC.
又∵CE=CA,
∴∠DAC=∠CEM.
在△ADC与△EMC中,
∠ADC=∠EMC∠DAC=∠MECAC=EC
,
∴△ADC≌△EMC(AAS),
∴ME=AD=BD.
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