如图,已知点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°.(1)求证:AD=BD;(2)E为AD延长线上的一点,且CE=CA,求证:AD+CD=DE;(3)当BD=2时,AC的长为 _______(直接填出结果,不要求写过程)
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/06 08:06:12
如图,已知点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°.(1)求证:AD=BD;(2)E为AD延长线上的一点,且CE=CA,求证:AD+CD=DE;(3)当BD=2时,AC的长为 _______(直接填出结果,不要求写过程)
如图,已知点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°.
(1)求证:AD=BD;
(2)E为AD延长线上的一点,且CE=CA,求证:AD+CD=DE;
(3)当BD=2时,AC的长为 _______(直接填出结果,不要求写过程)
如图,已知点D为等腰直角△ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°.(1)求证:AD=BD;(2)E为AD延长线上的一点,且CE=CA,求证:AD+CD=DE;(3)当BD=2时,AC的长为 _______(直接填出结果,不要求写过程)
(1)证明:因为ABC是等腰直角三角形
所以角BAC=角ABC=45度
因为角CAD=角CBD=15度
因为角BAD=角BAC-角CAD=30度
角ABD=角ABC-角CBD=30度
所以角BAD=角ABD
所以AD=BD
(2)因为三角形ACB是等腰直角三角形
所以BC=AC
角ACB=90度
角BAD=角ABD=30度(已证)
在DE上取DF=BD,连接BF,BE
因为角BDF=角BAD+角ABD=60度
所以三角形BDF是等边三角形
所以BD=BF=BF
角DBF=角CBD+角FBC=60度
因为AC=CE
所以角CAE=角AEC=15度
因为角CAE+角AEC+角ACE=180度
所以角ACE=角ACB+角BCE=150度
所以角BCE=60度
因为AC=AE
所以BC=CE
所以三角形BCE是等边三角形
所以BC=BE
角CBE=角CBF+角CBF=60度
所以角CBD=角CBF
因为BD=BF(已证)
BC=BE(已证)
所以三角形CBD和三角形EBF全等(SAS)
所以CD=EF
因为DE=DF+EF
所以AD+CD=DE
(3)AC=根号6
证明:(1)∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠BAC=∠ABC=45°,
∵∠CAD=∠CBD=15°,
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°,
∴BD=AD,
∴D在AB的垂直平分线上,
∵AC=BC,
∴C也在AB的垂直平分线上,
即直线CD是AB的垂直平分线,
∴∠ACD=∠BCD=45°,
∴∠CDE=...
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证明:(1)∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠BAC=∠ABC=45°,
∵∠CAD=∠CBD=15°,
∴∠BAD=∠ABD=45°-15°=30°,
∴BD=AD,
∴D在AB的垂直平分线上,
∵AC=BC,
∴C也在AB的垂直平分线上,
即直线CD是AB的垂直平分线,
∴∠ACD=∠BCD=45°,
∴∠CDE=15°+45°=60°=∠BDE,
即DE平分∠BDC.
∴∠BDE=∠DBA+∠BAD=60°;
(2)如图,连接MC.
∵DC=DM,且∠MDC=60°,
∴△MDC是等边三角形,即CM=CD.∠DMC=∠MDC=60°,
∵∠ADC+∠MDC=180°,∠DMC+∠EMC=180°,
∴∠EMC=∠ADC.
又∵CE=CA,
∴∠DAC=∠CEM.
在△ADC与△EMC中,
∠ADC=∠EMC∠DAC=∠MECAC=EC
,
∴△ADC≌△EMC(AAS),
∴ME=AD=BD.
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