已知n^2-17n+73是完全平方数,求自然数n.

已知n^2-17n+73是完全平方数,求自然数n.
已知n^2-17n+73是完全平方数,求自然数n.

已知n^2-17n+73是完全平方数,求自然数n.
设其为m^2,则
n^2-17n+73-m^2=0
delta=17^2-4(73-m^2)=4m^2-3=p^2
即(2m+p)(2m-p)=3
所以只能2m+p=3,2m-p=1
得m=1,p=1
所以n=(17+/-1)/2=8或9.

n²-17n+73
开放后为n+√73-17n
考虑小于73的平方数64、49、36、25、16、9、4、1
用73减去它们后，再除以17，就得出N
（73-小于73的平方数）÷17=N

设n^2-17n+73=m^2(m是自然数)
把它看作是关于n的一元二次方程，要有自然数根，首先需判别式是完全平方数
△=289-4（73-m^2）=4m^2-3=4(m^2-1)+1
根据奇数平方的特点，只有m^2-1=0时，△才是完全平方数
m=1
再解得n=8或n=9
附：奇数平方的特点是任何奇数的平方是两个连续自然数积的4倍加1...

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设n^2-17n+73=m^2(m是自然数)
把它看作是关于n的一元二次方程，要有自然数根，首先需判别式是完全平方数
△=289-4（73-m^2）=4m^2-3=4(m^2-1)+1
根据奇数平方的特点，只有m^2-1=0时，△才是完全平方数
m=1
再解得n=8或n=9
附：奇数平方的特点是任何奇数的平方是两个连续自然数积的4倍加1

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因为 n^2 -17n +73 =(n^2 -16n +64) -n +9
=(n-8)^2 -(n-8)+1,
令 x=n-8,
则 n^2 -17n +73 =x^2 -x +1.

又因为 n 为自然数,
...

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因为 n^2 -17n +73 =(n^2 -16n +64) -n +9
=(n-8)^2 -(n-8)+1,
令 x=n-8,
则 n^2 -17n +73 =x^2 -x +1.

又因为 n 为自然数,
所以 x 为整数, 且 x>= -8.
(1) 当 x=0 或 x=1 时,
n^2 -17n +73 =x^2 -x +1=1,
满足题意.
此时 n=8 或 n=9.
(2) 当 x<= -1 时, -x >=1.
所以 x^2 -x +1 >x^2
且 x^2 -x +1 所以 x^2 -x +1 不是完全平方数.
即 x<= -1 不成立.
(3) 当 x>=2 时,
x^2 -x +1 >x^2 -x +1 -x = (x-1)^2,
且 x^2 -x +1 所以 x^2 -x +1 不是完全平方数.
即 x>=2 不成立.
综上, n=8 或 n=9.
= = = = = = = = =
在 a^2 与 (a+1)^2 之间, 没有别的完全平方数.

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