值域的求法?本人我如果函数能画出图象,我就会求值域,不能画函数的话我就求不出,能者追加100分!

值域的求法?本人我如果函数能画出图象,我就会求值域,不能画函数的话我就求不出,能者追加100分!
值域的求法?
本人我如果函数能画出图象,我就会求值域,不能画函数的话我就求不出,
能者追加100分!

值域的求法?本人我如果函数能画出图象,我就会求值域,不能画函数的话我就求不出,能者追加100分!
《函数值域求法十一种》尚化春
在函数的三要素中,定义域和值域起决定作用,而值域是由定义域和对应法则共同确定.研究函数的值域,不但要重视对应法则的作用,而且还要特别重视定义域对值域的制约作用.确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环.对于如何求函数的值域,是学生感到头痛的问题,它所涉及到的知识面广,方法灵活多样,在高考中经常出现,占有一定的地位,若方法运用适当,就能起到简化运算过程,避繁就简,事半功倍的作用.本文就函数值域求法归纳如下,供参考.
1.直接观察法
对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到
2.配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一
3.判别式法
4.反函数法
直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域
5.函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,反客为主来确定函数的值域
6.函数单调性法
7.换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型,换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发挥作用
8.数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目
9.不等式法
利用基本不等式,求函数的最值,其题型特征解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧
10.一一映射法
原理：因为在定义域上x与y是一一对应的.故两个变量中,若知道一个变量范围,就可以求另一个变量范围
11.多种方法综合运用
原文章中还有大量典型例题,如果楼主打不开,可留一个邮箱,我把复制下来的文章发给你~

函数值域的求法
一,配方法
形如 y=af 2(x)+bf(x)+c(a≠0) 的函数常用配方法求函数的值域, 要注意 f(x) 的取值范围.
例1 (1)求函数 y=x2+2x+3 在下面给定闭区间上的值域:
二,换元法
通过代数换元法或者三角函数换元法, 把无理函数,指数函数,对数函数等超越函数转化为代数函数来求函数值域的方法(关注新元范围).

全部展开

函数值域的求法
一,配方法
形如 y=af 2(x)+bf(x)+c(a≠0) 的函数常用配方法求函数的值域, 要注意 f(x) 的取值范围.
例1 (1)求函数 y=x2+2x+3 在下面给定闭区间上的值域:
二,换元法
通过代数换元法或者三角函数换元法, 把无理函数,指数函数,对数函数等超越函数转化为代数函数来求函数值域的方法(关注新元范围).
例2 求下列函数的值域:
(1) y=x- x-1 ;
(2) y=x+ 2-x2 ;
(3) y=sinx+cosx+sinxcosx+1 .
①[-4, -3]; ②[-4, 1]; ③[-2, 1]; ④[0, 1].
[6, 11];
[2, 11];
[2, 6];
[3, 6].
3
4
[ , +∞)
(2)求函数 y=sin2x+4cosx+1 的值域.
[-3, 5].
[0, + 2 ]
3
2
[- 2 , 2]
三,方程法
四,分离常数法
利用已知函数的值域求给定函数的值域.
例3 求下列函数的值域:
2x+1
2x
(1)y= ;
sinx-3
(2)y= ;
sinx+2
(3)y=3+ 2+x + 2-x ;
主要适用于具有分式形式的函数解析式, 通过变形, 将函数化成 y=a+ 的形式.
b
g(x)
例4 求下列函数的值域:
2x+1
2x
(1)y= ;
sinx-3
(2)y= .
sinx+2
(0, 1)
3
2
[- , - ]
1
4
(0, 1)
3
2
[- , - ]
1
4
(4)若f(x)的值域为[ , ], 求 y=f(x)+ 1-2f(x) 的值域.
4
9
3
8
7
8
7
9
[ , ]
[5, 3+2 2 ]
五,判别式法
例5 求函数 y = 的值域.
x2+x+1
x2-x
主要适用于形如 y = (a, d不同时为零)的函数(最好是满足分母恒不为零).
ax2+bx+c
dx2+ex+f
六,均值不等式法
(1)y= ;
x2+1
2x
例6 求下列函数的值域:
(2)y= (x>1) .
x-1
x2-2x+5
[-1, 1]
[4, +∞)
能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函数的值域.
利用基本不等式求出函数的最值进而确定函数的值域. 要注意满足条件"一正,二定,三等".
[1- , 1+ ]
2 3
3
2 3
3
七,利用函数的单调性
八,数形结合法
主要适用于 (1) y=ax+b+ cx+d (ac>0)形式的函数; (2)利用基本不等式不能求得 y=x+ (k>0)的最值(等号不成立)时.
k
x
例7 求下列函数的值域:
(1)y= 1-2x - x ;
(2)y=x+ (04
x
1
2
[- , +∞)
[5, +∞)
当函数的解析式明显具备某种几何意义, 像两点间的距离公式,直线斜率等时可考虑用数形结合法.
例8 求下列函数的值域:
(1)y=|x-1|+|x+4| ;
sinx-3
(2)y= ;
2+cosx
(3)y= 2x2-6x+9 + 2x2-10x+17 ;
(4) 若 x2+y2=1, 求 x+y 的取值范围;
(5) 若 x+y=1, 求 x2+y2 的取值范围.
[5, +∞)
1
2
[ , +∞)
(0, 3 ]
(3)y= x+3 - x .
[-2- , -2+ ]
2 3
3
2 3
3
[2 5 , +∞)
[- 2 , 2 ]
九,导数法
对于可导函数, 可利用导数的性质求出函数的最值, 进而求得函数的值域.
例9 求下列函数在给定区间上的值域:
(2)y=x5-5x4+5x3+2, x∈[-1, 2].
(1)y=x+ , x∈[1, 4];
4
x
[4, 5]
[-9, 3]
1.求下列函数的值域:
值域课堂练习题
(1) y= ;
x-2
3x+1
(2) y=2x+4 1-x ;
(3) y=x+ 1-x2 ;
(1)(-∞, 3)∪(3, +∞)
(2)(-∞, 4]
(4)[3, +∞)
(4) y=|x+1|+ (x-2)2 ;
(3)[-1, 2 ]
(5) y= ;
2-cosx
sinx
(6) y= ;
x2+x+1
2x2-x-2
(7) y= ( 0 恒成立.
∴△=64-4mn0.
mx2+8x+n
x2+1
令 y= ,
则 1≤y≤9.
mx2+8x+n
x2+1
问题转化为 x∈R 时, y= 的值域为[1, 9].
变形得 (m-y)x2+8x+(n-y)=0,
当 m≠y 时, ∵x∈R, ∴△=64-4(m-y)(n-y)≥0.
整理得 y2-(m+n)y+mn-16≤0.
依题意
m+n=1+9,
mn-16=1×9,
解得 m=5, n=5.
当 m=y 时, 方程即为 8x+n-m=0, 这时 m=n=5 满足条件.
故所求 m 与 n 的值均为 5.

收起