作业帮已知椭圆x^2/a^2+y^2=1(a>1),P为短轴的一个端点,Q为椭圆上的一个动点,求|PQ|的最大值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/24 17:25:06
已知椭圆x^2/a^2+y^2=1(a>1),P为短轴的一个端点,Q为椭圆上的一个动点,求|PQ|的最大值
已知椭圆x^2/a^2+y^2=1(a>1),P为短轴的一个端点,Q为椭圆上的一个动点,求|PQ|的最大值
已知椭圆x^2/a^2+y^2=1(a>1),P为短轴的一个端点,Q为椭圆上的一个动点,求|PQ|的最大值
设P是短轴的上端点,P（0,1）
设Q的坐标为（x,y)
则PQ距离=根号下x^2+(y-1)^2
就是求x^2+(y-1)^2的最大值
x^2+(y-1)^2=a^2(1-y^2)+(y-1)^2
=(1-a^2)(y-1/(1-a^2))^2+a^2+1-1/(1-a^2)
因为a>1所以（1-a^2)<0所以y=1/(1-a^2)时这个值最大,最大值为
a^2+1-1/(1-a^2)=a^4/(a^2-1)
所以PQ距离的最大值为a^2/√(a^2-1)
x^2/a^2+y^2=1(a>1)，b=1，P为短轴的一个端点,可设为(0,1)
x^2=a^2-a^2y^2
|PQ|^2=x^2+(y-1)^2=x^2+y^2-2y+1=(1-a^2)y^2-2y+(a^2+1)
g(y)=(1-a^2)y^2-2y+(a^2+1)；[-1,1]
g(0)>1，开口向下，对称轴y=1/(1-a^2)<0
当对称轴1/...
全部展开
x^2/a^2+y^2=1(a>1)，b=1，P为短轴的一个端点,可设为(0,1)
x^2=a^2-a^2y^2
|PQ|^2=x^2+(y-1)^2=x^2+y^2-2y+1=(1-a^2)y^2-2y+(a^2+1)
g(y)=(1-a^2)y^2-2y+(a^2+1)；[-1,1]
g(0)>1，开口向下，对称轴y=1/(1-a^2)<0
当对称轴1/(1-a^2)<-1，即a^2<2时，g[max]=g(-1)=1-a^2+2+a^2+1=4
|PQ|的最大值=2
当对称轴1/(1-a^2)>=-1，即a^2>=2时，
g[max]=g(1/(1-a^2))
=(1-a^2)(1/(1-a^2))^2-2/(1-a^2)+a^2+1
=a^2+1-1/(1-a^2)
=a^4/(a^2-1)
|PQ|的最大值=a^2/√(a^2-1)
收起