ABCD为矩形,BE⊥AC,垂足为E,EB的延长线交∠ADC的平分线于点F,求AC=BF

ABCD为矩形,BE⊥AC,垂足为E,EB的延长线交∠ADC的平分线于点F,求AC=BF
ABCD为矩形,BE⊥AC,垂足为E,EB的延长线交∠ADC的平分线于点F,求AC=BF

ABCD为矩形,BE⊥AC,垂足为E,EB的延长线交∠ADC的平分线于点F,求AC=BF
连结BD,设DF交AB于点G
∴∠BDF＝∠CDF－∠CDB＝45°－∠BDC
∵∠F＝∠ABE－∠BGF
＝(90°－∠BAE)－∠AGD
＝90°－∠BAC－45°
＝45°－∠BAC
＝45°－∠BDC
∴∠BDF＝∠F
∴BF＝BD＝AC

设∠ADB=a,则∠BDF=a-45°。延长BE交DC于G，则∠EGC=90°-∠ECG=90°-∠BDC=a。
∠F=∠EGC-∠FDC=a-45°（外角等于不相邻两内角和），所以AC=BD=BF。

证明：
令FD与AC相交与点G；连接BD
∵Rt△FEG中，∠F+∠FEG=∠F+90°=∠FGC=∠AGD
又∵△AGD中，∠F+90°=∠AGD=180°—∠ADF—∠DAC
又由 DF是∠ADC的角平分线， ∴∠ADF=45°；又由矩形ABCD中，∠DAC=∠ADB
∴∠F+90°=∠AGD=180°—45°—∠ADB
又由∠...

全部展开

证明：
令FD与AC相交与点G；连接BD
∵Rt△FEG中，∠F+∠FEG=∠F+90°=∠FGC=∠AGD
又∵△AGD中，∠F+90°=∠AGD=180°—∠ADF—∠DAC
又由 DF是∠ADC的角平分线， ∴∠ADF=45°；又由矩形ABCD中，∠DAC=∠ADB
∴∠F+90°=∠AGD=180°—45°—∠ADB
又由∠BDF=45°—∠ADB ∴∠ADB=45°—∠BDF
∴∠F+90°=180°—45°—(45°—∠BDF)=90°+∠BDF
∴∠F=∠BDF
由△BFD中，∠F=∠BDF
得：BF=BD （等角对等腰）
又∵矩形中AC=BD
∴BF=BD =AC
∴BF=AC

收起