已知函数f(x)=ax^2-(a+2)x+lnx 当a>0时,函数f(x)在区间[1,e]上的最大值为-2,求a的范围

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/17 09:36:50
已知函数f(x)=ax^2-(a+2)x+lnx 当a>0时,函数f(x)在区间[1,e]上的最大值为-2,求a的范围
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已知函数f(x)=ax^2-(a+2)x+lnx 当a>0时,函数f(x)在区间[1,e]上的最大值为-2,求a的范围
已知函数f(x)=ax^2-(a+2)x+lnx 当a>0时,函数f(x)在区间[1,e]上的最大值为-2,求a的范围

已知函数f(x)=ax^2-(a+2)x+lnx 当a>0时,函数f(x)在区间[1,e]上的最大值为-2,求a的范围
显然x>0
先对f(x)求导f'(x)=2ax+1/x-(a+2)
令f'(x)=0有2ax^2-(a+2)x+1=0,即x^2-(1/2+1/a)+1/2a=(x-1/2)(x-1/a)=0
解得x=1/2或x=1/a.显然x=1/2

x的指数写清楚点。

f'(x)=2ax-(a+2)+1/x
=[2ax^2-(a+2)x+1]/x
=2a[x^2-(1/2+1/a)+1/(2a)]/x
=2a(x-1/a)(x-1/2)/x
当0<1/a≤1时，即a≥1时
∵1≤x≤e ∴x-1/a≥0,x-1/2>0
∴2a(x-1/a)(x-1/2)/x>0

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f'(x)=2ax-(a+2)+1/x
=[2ax^2-(a+2)x+1]/x
=2a[x^2-(1/2+1/a)+1/(2a)]/x
=2a(x-1/a)(x-1/2)/x
当0<1/a≤1时，即a≥1时
∵1≤x≤e ∴x-1/a≥0,x-1/2>0
∴2a(x-1/a)(x-1/2)/x>0
f(x)在[1,e]上为增函数
f(x)max=f(e)=ae²-(a+2)e+1
由ae²-(a+2)e+1=-2
得 a(e²-e)=2e-3
a=(2e-3)/(e²-e)
(2e-3)/(e²-e)-1=(3e-3-e²)/(e²-e)<0
∴a<1与a≥1矛盾

当1<1/a x∈[1,1/a),f'(x)<0,x∈(1/a,e]，f‘(x)>0
∴f(x)的最大值在f(1)和f(e)中产生
f(1)=a-(a+2)+ln1=-2
f(e)=ae²-(a+2)e+1
则需f(e)≤f(1)=-2
∴ae²-(a+2)e+1≤-2
==>a≤(2e-3)/(e²-e)
∴1/e
当a≥e即0 x∈[1,e]时，f'(x)≤0,f（x）递减
∴f(x)max=f(1)=-2,符合题意

综上所述，符合条件的a的取值范围是
0和你算的一样

收起

f '(x)=2ax-(a+2)+1/x
令f ‘(x)=0
[2ax²-(a+2)x+1]/x=0
2ax²-(a+2)x+1=0 , 分解因式得：
(ax-1)(2x-1)=0
x1=1/a, x2=1/2小根是极大值点，大根是极小值点，
因为a>0,==>1/a>0

如果1/a<1/2,函数在[1，e]...

全部展开

f '(x)=2ax-(a+2)+1/x
令f ‘(x)=0
[2ax²-(a+2)x+1]/x=0
2ax²-(a+2)x+1=0 , 分解因式得：
(ax-1)(2x-1)=0
x1=1/a, x2=1/2小根是极大值点，大根是极小值点，
因为a>0,==>1/a>0

如果1/a<1/2,函数在[1，e]上单调增，而f(1)= -2,最大值不可能为 - 2
如果1/2≤1/a<1,与上面一样的矛盾！
如果1≤1/aae²-ae-2e+1≤-2
a≤(2e-3)/(e²-e)
又因为 1/e所以1/e如果1/a≤e,即a≤1/e 时， 函数在【1、e】上单调减，最大值为f(1)= -2 恒成立，
综合可知：
0

收起

已知函数f(x)=ax-a/x-2lnx 已知函数f(x)=根号ax+2(a 已知函数f(x)=根号ax+2(a 高中数学已知函数f(x)=ax^2+x--a.解不等式f（x)>1 已知函数f(x)=ax/(x^2+1)+a,求f(x)的单调区间 已知函数f(x)=x^+ax,g(x)=2^x-a,且1/2 已知函数f(x)=x^2+ax+a/x,且a 已知函数f(x)=ax÷2X+3)满足f[f(x)]=x求a的值 已知函数f(x)=ax/2x-1满足f[f(x)]=x,求实数a的值 已知函数f(x)=2lnx-ax+a,讨论f(x)的单调性. 已知函数f(x)=log2(x^2-x),g(x)=log2(ax-a).求的f(x)定义域 已知常数a>0,函数f(x)=ln(1+ax)-2x/x+2 已知函数f(x)={ax2+1,x≥0 (a+2)e^ax,x 已知函数f(x)=-4x^2+4ax-a^2-4a(a 已知二次函数f(x)=ax^2-(2+4a)x+3a(a 已知函数f(x)=0.5x^2-ax+(a-1)lnx 讨论函数f(x)的单调性 已知函数f(x)=ax²+2bx+1(a,b为实数),x属于R,F(x)=f(x),x>0或-f(x),x 已知函数f(x)=ax^2+bx+1(a,b为实数）,x属于R,F(x)={f(x),x>0 -f(x),x