数列：1,1+2,1+2+3,.,1+2+3+.+n如何推导出Sn=n(n+1)(n+2)/6

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/24 13:10:17
数列：1,1+2,1+2+3,.,1+2+3+.+n如何推导出Sn=n(n+1)(n+2)/6
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数列：1,1+2,1+2+3,.,1+2+3+.+n如何推导出Sn=n(n+1)(n+2)/6
数列：1,1+2,1+2+3,.,1+2+3+.+n
如何推导出Sn=n(n+1)(n+2)/6

数列：1,1+2,1+2+3,.,1+2+3+.+n如何推导出Sn=n(n+1)(n+2)/6
通项是an=1+2+...+n=n(n+1)/2=(n^2+n)/2
所以前n项和是Sn=a1+a2+...+an=(1^2+1)/2+(2^2+2)/2+...+(n^2+n)/2
=[(1^2+2^2+...+n^2)+(1+2+...+n)]/2
=[n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2]/2
=n(n+1)(n+2)/6
上面用到的公式1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6是这样来的
利用立方差公式
n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)]=n^2+(n-1)^2+n^2-n=2*n^2+(n-1)^2-n
2^3-1^3=2*2^2+1^2-2
3^3-2^3=2*3^2+2^2-3
4^3-3^3=2*4^2+3^2-4
.
n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n
各等式全相加
n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n)
=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n)
=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1
=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2
3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1)
=(n/2)(n+1)(2n+1)
1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6

1,1,2,2,2,3,3是什么数列数列分为常数列,单调数列和摆动数列.但该数列不符合任何一种.那么是什么数列呢?（不要滥竽充数, 下列叙述正确的个数为 1、数列{2}是常数列 2、数列｛（-1）∧n·1/n｝是摆动数列3、数列｛n／（2n+1）｝是递增数列 4、若数列｛an｝是递增数列,则数列｛1／an｝也是递增数列A 1 B 2 C 3 D4 数列2,1,5,11,111,数列公式 证明：数列n除以2n+1是递减数列 证明：数列n除以2n+1是递减数列 数列An的平方=数列A（n-1）+2；求数列An的公式? 数列：1,3,2,-2,-12,（ ） 数列1 2 2 3 4 ( ) 数列3,-2,1,3,8,61, 数列-1,3,-2,-4,11,（） 数列：-1 -2 3 21 （） 数列an=1+2+3+...+n,数列bn是数列an中被三整除的项递增排成的数列,求bn求bn的通向公式 数列3/2,2/1,1/7,2/23,9/121,求数列第五项是多少? 摆动数列是怎么样的1,1,1,2,3,4,是摆动数列吗 下列有关数列的说法： （1）数列的通项公式是唯一的；下列有关数列的说法：（1）数列的通项公式是唯一的；（2）数列1,3,5,7可表示{1,3,5,7}；（3）数列1,0,-1,-2与数列-2,-1,0,1是相同的数列； 设数列,a1=3,an+1=3an-2,求数列an是等比数列 数列敛散性,数列((3^n)-1)/((2^n)+3)发散还是收敛,若收敛求极限 数列1,-2,3,-4 这个摆动数列的通项公式