作业帮已知数列{a(n)}Sn是其前n项的和,且满足3an=2Sn+n(n∈N※)(1)求证:数列{an+1/2}为等比数列(2)记Tn=S1+S2+S3+.+Sn,求Tn的表达式
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/19 13:14:29
已知数列{a(n)}Sn是其前n项的和,且满足3an=2Sn+n(n∈N※)(1)求证:数列{an+1/2}为等比数列(2)记Tn=S1+S2+S3+.+Sn,求Tn的表达式
已知数列{a(n)}Sn是其前n项的和,且满足3an=2Sn+n(n∈N※)
(1)求证:数列{an+1/2}为等比数列
(2)记Tn=S1+S2+S3+.+Sn,求Tn的表达式
已知数列{a(n)}Sn是其前n项的和,且满足3an=2Sn+n(n∈N※)(1)求证:数列{an+1/2}为等比数列(2)记Tn=S1+S2+S3+.+Sn,求Tn的表达式
（1）3an=2Sn+n ...①
3an+1=2Sn+1 +n+1 ...②
②-①得：3an+1 -3an=2an+1 +1
即an+1=3an +1 ==＞an+1 +1/2=3(an+1/2)
an+1 +1/2 / an+1/2=3
∵S1=a1 ∴当n=1时代入①得 a1=1
即得证 数列{an+1/2}为等比数列,首相a1为1,公比q为3
（2）T1=S1=1
Tn=S1+S2+S3+.+Sn ...③
Tn+1=S1+S2+S3+.+Sn+Sn+1 ...④
④-③得 Tn+1 -Tn=Sn+1=3^(n+1）/2 -1/2 (3的n+1次方)
∴Tn=（Tn- Tn-1）+(Tn-1 -Tn-2)+.(T2-T1)+T1
=[-3+3*（3^n -1）/2]/2-(n-1)*(1/2)+1
=[3^(n+1)-2n-4]/4
(2)
3an=2Sn+n
Sn=1/2(3an-n)
S1=1/2(3a1-1)
S2=1/2(3a2-2)
S3=1/2(3a3-3)
...
Sn=1/2(3an-n)
Tn=S1+S2+S3+...+Sn
Tn=1/2(3a1-1)+1/2(3a2-2)+1/2(3a3-3)+...+1/2(3an-n)
Tn=1/2[3(a1+a2+a3+...+an)-(1+2+3+...+n)]
Tn=1/2[3Sn-n(n+1)/2]
第一问
3an=2Sn+n①
3an-1=2Sn-1 + n -1②
①-②得an=3an-1 + 1
左右两边同时加上1/2得an+1/2=3(an-1 +1/2)
即该数列是以3为公比的等比数列
（1）因为3a(n)=2s(n)+n【1】,所以3a(n+1)=2s(n+1）+（n+1)【2】{注意两 个等式的形式是一样的}
【2】-【1】3a(n+1)-3a(n)=2a(n+1)+1，所以a(n+1)+1/2=3[a(n)+1/2]，
所以数列{an+1/2}为公比为3的等比数列
（2）3a1=2s1+1
所以a1=1，an...
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（1）因为3a(n)=2s(n)+n【1】,所以3a(n+1)=2s(n+1）+（n+1)【2】{注意两 个等式的形式是一样的}
【2】-【1】3a(n+1)-3a(n)=2a(n+1)+1，所以a(n+1)+1/2=3[a(n)+1/2]，
所以数列{an+1/2}为公比为3的等比数列
（2）3a1=2s1+1
所以a1=1，an+1/2=(1+1/2)*3^(n-1)
所以an=3/2*3^(n-1)-1/2,
sn=3/2*(1-3^n)/(1-3)-5/4*n=3/4*3^n-1/2*n-3/4
sn的通项是由一个首项为9/4、公比为3的等比数列，首项为1/2、公差为1/2的等差数列，和一个常数数列-3/4构成的
所以sn的前n项和tn=9/4*(1-3^n)/(1-3)-1/2*n-(n*(n-1)*1/2)/2-3/4*n=9/8*3^n-n^2/4-n-9/8
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