如下图,已知OPQ是半径为,圆心角为2π/3的扇形,M为PQ中点,ABCD是扇形的内接矩形,OM垂直AB且OM分别交AB、CD于E、F,设角AOM=α,矩形ABCD的面积为S.1.用α表示AB及BC的长;2.写出以α为自变量,S为函数的解
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/28 03:51:22
如下图,已知OPQ是半径为,圆心角为2π/3的扇形,M为PQ中点,ABCD是扇形的内接矩形,OM垂直AB且OM分别交AB、CD于E、F,设角AOM=α,矩形ABCD的面积为S.1.用α表示AB及BC的长;2.写出以α为自变量,S为函数的解
如下图,已知OPQ是半径为,圆心角为2π/3的扇形,M为PQ中点,ABCD是扇形的内接矩形,OM垂直AB
且OM分别交AB、CD于E、F,设角AOM=α,矩形ABCD的面积为S.
1.用α表示AB及BC的长;
2.写出以α为自变量,S为函数的解析式;
3.求S最大值,及相应角α的取值.
如图
如下图,已知OPQ是半径为,圆心角为2π/3的扇形,M为PQ中点,ABCD是扇形的内接矩形,OM垂直AB且OM分别交AB、CD于E、F,设角AOM=α,矩形ABCD的面积为S.1.用α表示AB及BC的长;2.写出以α为自变量,S为函数的解
以O为原点,OM为x轴,过O点的OM的垂线为y轴建立直角坐标系,有
A(cosα,sinα),B(cosα,sinα),
OP直线为y=√3 x,OQ直线为y= -√3 x,AD直线为y=sinα,BC直线为y= -sinα,
故可得D(sinα/√3,sinα),C(sinα/√3,sinα),
1,故AB=2sinα,BC=cosα-sinα/√3
2,故矩形ABCD面积为
S=2sinα(cosα-sinα/√3)
=2sinαcosα-2sin²α/√3
=sin2α-2[(1-cos2α)/2]/√3
=sin2α+cos2α/√3 -1/√3,(0<α<π/3)
3,令y=sin2α,x=cos2α,(0<α<π/3)
有x²+y²=1,
可见x、y是圆在0°-120°上的点的集合(圆弧),
则求S变为S=y+x/√3 -1/√3,也即y= -x/√3+(1/√3+S),
这就变成了求斜率为-1/√3的直线与圆弧相交得截距最大值.
解得当x=√3/2,y=1/2时,Smax=1-1/√3.
可得此时α=30°.
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