当x>0时,证明不等式cos x>1-(1/2)x^2

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/29 04:53:32
当x>0时,证明不等式cos x>1-(1/2)x^2
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当x>0时,证明不等式cos x>1-(1/2)x^2
当x>0时,证明不等式cos x>1-(1/2)x^2

当x>0时,证明不等式cos x>1-(1/2)x^2
cosx=1-2sin²（x/2）
因为sina＜a,所以sin（x/2）＜（x/2）,所以sin²（x/2）＜（x/2）²
于是1-2sin²（x/2）＞1-2（x/2）²=1-（1/2）x²

列y=cos x-[1-(1/2)x^2]
方程求导 有Y=sin x+x
再求导 有Y1=cos x+1 当x>0是，恒有Y1>=0，所以x>0时，Y为递增函数
则Y>Y(0)=0 也就是x>0时，y为递增函数
则y>y(0)=0所以cos x>1-(1/2)x^2

设f(x)=cosx -1+x^2/2
f'(x)=x-sinx f''(x)=1-cosx>=0 f'(x)单增 f'(0)=0 故f'(x)=x-sinx>0
所以 f(x)单增 又f(0)=0 故 f(x)=cosx -1+x^2/2>0
即cosx > 1 - x^2/2

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