小明要在给定的锐角△ABC中,求作一个正方形DEFG,使D,E落在BC 边上,F,G分别落在AC,AB 上,作法如下第一步:画一个有三个顶点在△ABC两边上的正方形D′E′F′G′(如图);第二步:连结B、F′并
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/27 17:02:48
![小明要在给定的锐角△ABC中,求作一个正方形DEFG,使D,E落在BC 边上,F,G分别落在AC,AB 上,作法如下第一步:画一个有三个顶点在△ABC两边上的正方形D′E′F′G′(如图);第二步:连结B、F′并](/uploads/image/z/6942173-5-3.jpg?t=%E5%B0%8F%E6%98%8E%E8%A6%81%E5%9C%A8%E7%BB%99%E5%AE%9A%E7%9A%84%E9%94%90%E8%A7%92%E2%96%B3ABC%E4%B8%AD%2C%E6%B1%82%E4%BD%9C%E4%B8%80%E4%B8%AA%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2DEFG%2C%E4%BD%BFD%2CE%E8%90%BD%E5%9C%A8BC+%E8%BE%B9%E4%B8%8A%2CF%2CG%E5%88%86%E5%88%AB%E8%90%BD%E5%9C%A8AC%2CAB+%E4%B8%8A%2C%E4%BD%9C%E6%B3%95%E5%A6%82%E4%B8%8B%E7%AC%AC%E4%B8%80%E6%AD%A5%EF%BC%9A%E7%94%BB%E4%B8%80%E4%B8%AA%E6%9C%89%E4%B8%89%E4%B8%AA%E9%A1%B6%E7%82%B9%E5%9C%A8%E2%96%B3ABC%E4%B8%A4%E8%BE%B9%E4%B8%8A%E7%9A%84%E6%AD%A3%E6%96%B9%E5%BD%A2D%E2%80%B2E%E2%80%B2F%E2%80%B2G%E2%80%B2%EF%BC%88%E5%A6%82%E5%9B%BE%EF%BC%89%EF%BC%9B%E7%AC%AC%E4%BA%8C%E6%AD%A5%EF%BC%9A%E8%BF%9E%E7%BB%93B%E3%80%81F%E2%80%B2%E5%B9%B6)
小明要在给定的锐角△ABC中,求作一个正方形DEFG,使D,E落在BC 边上,F,G分别落在AC,AB 上,作法如下第一步:画一个有三个顶点在△ABC两边上的正方形D′E′F′G′(如图);第二步:连结B、F′并
小明要在给定的锐角△ABC中,求作一个正方形DEFG,使D,E落在BC 边上,F,G分别落在AC,AB 上,作法如下
第一步:画一个有三个顶点在△ABC两边上的正方形D′E′F′G′(如图);
第二步:连结B、F′并延长交AC于点F ;
第三步:过 F 点作FE⊥BC ,垂足为点E;第四步:过F 点作FG‖BC交AB于点G;
第五步:过G 点作GD⊥BC,垂足为点D.四边形DEFG即为所求作的正方形.
小明的作法合理吗?请你给出合理的解释.
如图
小明要在给定的锐角△ABC中,求作一个正方形DEFG,使D,E落在BC 边上,F,G分别落在AC,AB 上,作法如下第一步:画一个有三个顶点在△ABC两边上的正方形D′E′F′G′(如图);第二步:连结B、F′并
合理
他这种做法应用了相似三角形的知识.
ΔBF'G'∽ΔBFG
ΔBF'E'∽ΔBFE
ΔBG'D'∽ΔBGD
则有
BF':BF=BG':BG=F'E':FE=F'G':FG=G'D':GD
因为D′E′F′G′为正方形
所有G'D'=G'F'=F'E'
所以,可知GD=GF=FE
从图中可以证明
DEFG为平行四边形(GF∥DE,GD∥FE,GD⊥DE)
而它有三边相等,
所以它是正方形
(1)证明:∵EF⊥BC,GD⊥BC,
∴∠FED=∠EDG=90°,
∵FG∥BC,
∴∠EFG=180°-∠FED=90°,
∴四边形DEFG是矩形,
∵四边形D1E1F1G1是正方形,
∴E1F1=F1G1,F1G1∥BC,
∴F1G1/FG =BF1/BF =E1F1/EF
∴FG=EF,
∴四边形DEFG为正方形;<...
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(1)证明:∵EF⊥BC,GD⊥BC,
∴∠FED=∠EDG=90°,
∵FG∥BC,
∴∠EFG=180°-∠FED=90°,
∴四边形DEFG是矩形,
∵四边形D1E1F1G1是正方形,
∴E1F1=F1G1,F1G1∥BC,
∴F1G1/FG =BF1/BF =E1F1/EF
∴FG=EF,
∴四边形DEFG为正方形;
(2)过点A作AM⊥BC于M,交FG于N,
∵四边形DEFG为正方形,
∴FG∥BC,
∴AN⊥GF,△AGF∽△ABC,
∴AN/AM=FG/BC
设正方形DEFG的边长为x,
则AM=80,AN=80-x,
即80-X/80=X/120,
解得:x=48,
∴正方形DEFG的边长为48;
(3)过点A作AM⊥BC于M,交FG于N,
∵四边形DEFG为矩形,
∴FG∥BC,
∴AN⊥GF,△AGF∽△ABC,
∴AN/AM=FG/BC,
∵GF=1/2DG
设GF=x,则DG=2x,AM=80,AN=AM=MN=AM-DG=80-2x,
即80-2X/80=X/120,
解得:x=30,
∴GF=30.
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