作业帮大学数学（函数与极限）本人是看课本自学,选中有追加,1）证明数列Xn=(-1)^n+1是发散的.设limXn(n→∞)=a,由定义,对于ε=1/2,则存在N,使得n>N时有|Xn-a|N时,Xn∈ (a-1/2,a+1/2),区间长度为1,而Xn无休止反
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/28 02:23:50
大学数学（函数与极限）本人是看课本自学,选中有追加,1）证明数列Xn=(-1)^n+1是发散的.设limXn(n→∞)=a,由定义,对于ε=1/2,则存在N,使得n>N时有|Xn-a|N时,Xn∈ (a-1/2,a+1/2),区间长度为1,而Xn无休止反
大学数学（函数与极限）本人是看课本自学,选中有追加,
1）证明数列Xn=(-1)^n+1是发散的.
设limXn(n→∞)=a,由定义,对于ε=1/2,则存在N,使得n>N时有|Xn-a|N时,Xn∈ (a-1/2,a+1/2),区间长度为1,而Xn无休止反复取1,-1两个数,不可能同时位于长度为1的开区间内,因此数列Xn=(-1)^n+1是发散的.
为什么ε=1/2(取1不行吗?ε的取定如何找出?Xn不可能同时位于长度为1的开区间内为什么呢?假设ε我取大一点的数,比如5,那样1和-1不是含概在里面?
2）证明:若数列{Xn}收敛,则极限唯一.
设limXn=a(n→∞),又limXn=b,由定义,对于所有ε>0,存在N1,N2使得当n>N1时恒有|Xn-a|N2时恒有|Xn-b|N时,有|a-b|=|(Xn-b)-(Xn-a)|≤|Xn-b|+|Xn-a|
大学数学（函数与极限）本人是看课本自学,选中有追加,1）证明数列Xn=(-1)^n+1是发散的.设limXn(n→∞)=a,由定义,对于ε=1/2,则存在N,使得n>N时有|Xn-a|N时,Xn∈ (a-1/2,a+1/2),区间长度为1,而Xn无休止反
1 极限的定义是对任意ε>0均要成立,所以这个反证法是表示存在某个ε>0使得命题不成立.
这个任意性很关键
2 其实对ε的理解关键在于它是任意的,可以任意小!ε+ε=2ε一样还是任意小,所以取|Xn-a|
1：这是反证法，证明要用到(a-1/2,a+1/2)这个区间，这个区间不可能同时包含1和-1（因为一个是开区间一个是闭区间），从而导出矛盾，推翻假设。。当然不一定要1/2，也可以是1/3，1/4...或者任何小于1/2的正数，只要保证那个区间长度小于1就可以了。。。
2：ε/2是为了后面加起来说明方便，你可以把它换成ε，那后面加起来就变了2ε，max是保证n>N时|Xn-a|<ε/2，|X...
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1：这是反证法，证明要用到(a-1/2,a+1/2)这个区间，这个区间不可能同时包含1和-1（因为一个是开区间一个是闭区间），从而导出矛盾，推翻假设。。当然不一定要1/2，也可以是1/3，1/4...或者任何小于1/2的正数，只要保证那个区间长度小于1就可以了。。。
2：ε/2是为了后面加起来说明方便，你可以把它换成ε，那后面加起来就变了2ε，max是保证n>N时|Xn-a|<ε/2，|Xn-b|<ε/2（如果min，那当n在(N1,N2)中时，就有一个不成立），最后是绝对值不等式：
|a+b|≤|a|+|b|
在本证明中：
|a-b|=|a+(-b)|<=|a|+|-b|=|a|+|b|
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