设a为实数,函数ex(e的x次方)—2x+2a,a为实数,求证:当a>(In2)—1且x>0时,ex(e的x次方)>x2(x的平方)—2ax+1
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/18 23:16:21
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设a为实数,函数ex(e的x次方)—2x+2a,a为实数,求证:当a>(In2)—1且x>0时,ex(e的x次方)>x2(x的平方)—2ax+1
设a为实数,函数ex(e的x次方)—2x+2a,a为实数,求证:当a>(In2)—1且x>0时,
ex(e的x次方)>x2(x的平方)—2ax+1
设a为实数,函数ex(e的x次方)—2x+2a,a为实数,求证:当a>(In2)—1且x>0时,ex(e的x次方)>x2(x的平方)—2ax+1
f的导函数f'=ex-2
当 ex-2=0时 即x=ln2是 导函数f'=0
当 ex-20 原函数f为增函数
极小值为f(ln2)=2-2ln2+2a
令 g(x)=e^x-(x^2-2ax+1)
函数g的导函数g'=ex-(2x-2a) 为函数f
当a>ln2-1时 原函数极小值f(ln2)=2-2ln2+2a>2-2ln2+2(ln2-1)=0
即导函数g'>0
函数g在R上为增函数
g(0)=1-(0-0+1)=0
对于任意的x>0
g(x)>g(0)=0恒成立
∴ ex-(x2-2ax+1)>0 即ex>x2-2ax+1
得证
(1)∵f(x)=ex-2x+2a,x∈R,
∴f′(x)=ex-2,x∈R.
令f′(x)=0,得x=ln2.
于是当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,ln2) ln2 (ln2,+∞)
f′(x) - ...
全部展开
(1)∵f(x)=ex-2x+2a,x∈R,
∴f′(x)=ex-2,x∈R.
令f′(x)=0,得x=ln2.
于是当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:
x (-∞,ln2) ln2 (ln2,+∞)
f′(x) - 0 +
f(x) 单调递减 2(1-ln2+a) 单调递增
故f(x)的单调递减区间是(-∞,ln2),
单调递增区间是(ln2,+∞),
f(x)在x=ln2处取得极小值,
极小值为f(ln2)=eln2-2ln2+2a=2(1-ln2+a).
(2)证明:设g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R,
于是g′(x)=ex-2x+2a,x∈R.
由(1)知当a>ln2-1时,
g′(x)最小值为g′(ln2)=2(1-ln2+a)>0.
于是对任意x∈R,都有g′(x)>0,所以g(x)在R内单调递增.
于是当a>ln2-1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0).
而g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>0.
即ex-x2+2ax-1>0,
故ex>x2-2ax+1.
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