过坐标原点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C:3x2+4y2=12分别交与A,B两点,证明点O到直线AB的距离为定值.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/06 07:26:30
过坐标原点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C:3x2+4y2=12分别交与A,B两点,证明点O到直线AB的距离为定值.
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过坐标原点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C:3x2+4y2=12分别交与A,B两点,证明点O到直线AB的距离为定值.
过坐标原点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C:3x2+4y2=12分别交与A,B两点,证明点O到直线AB的距离为定值.

过坐标原点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C:3x2+4y2=12分别交与A,B两点,证明点O到直线AB的距离为定值.
设过坐标原点O作的两条互相垂直的射线的方程分别为y=kx和y=(-1/k)x
并令它们与椭圆的交点分别为A(x1,y1)和B(x2,y2),则y1=kx1,y2=(-1/k)x2
将它们分别代入椭圆3x^2+4y^2=12中,得：(3+4k^2)*(x1)^2=12,(4+3k^2)*(x2)^2=12k^2
所以(x1)^2=12/(3+4k^2),(x2)^2=12k^2/(4+3k^2)
所以(|AB|)^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2=(x2-x1)^2+{[(-1/k)x2]-kx1}^2
=(x2-x1)^2+[(1/k)x2+kx1]^2
=(x2)^2+(x1)^2-2x2x1+(1/k^2)*(x2)^2+(kx1)^2+2x2x1
=[(1+k^2)/k^2]*(x2)^2+(1+k^2)*(x1)^2
=[(1+k^2)/k^2]*[12k^2/(4+3k^2)]+(1+k^2)*[12/(3+4k^2)]
=[12(1+k^2)/(4+3k^2)]+[12(1+k^2)/(3+4k^2)]
=[12(1+k^2)]*(4+3k^2+3+4k^2)/[(4+3k^2)(3+4k^2)]
=[84(1+k^2)^2]/(12k^4+24k^2+12)
=[84(1+k^2)^2]/[12(1+k^2)^2]
=7
而(|OA|)^2=(x1)^2+(y1)^2=(1+k^2)*(x1)^2,(|OB|)^2=(x2)^2+(y2)^2=[(1+k^2)/k^2]*(x2)^2
所以(|OA|*|OB|)^2=(1+k^2)*[12/(3+4k^2)]*[(1+k^2)/k^2]*[12k^2/(4+3k^2)]
=144(1+k^2)^2/[(3+4k^2)(4+3k^2)]
=144(1+k^2)^2/[12(1+k^2)^2]
=12
点O到直线AB的距离为d,则S△OAB=1/2*|AB|*d=1/2*|OA|*|OB|
所以d^2=(|OA|*|OB|)^2/(|AB|)^2=12/7,所以d=√(12/7)=(2√21)/7,为定值
所以点O到直线AB的距离为定值(2√21)/7

过坐标原点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C:3x2+4y2=12分别交与A,B两点,证明点O到直线AB的距离为定值. 已知椭圆：x^2/3+y^2=1,过坐标原点o做两条互相垂直的射线,与椭圆分别交于A、B两点.求三角形ABC面积的最大值, 已知椭圆：x^2/3+y^2=1,过坐标原点o做两条互相垂直的射线,与椭圆分别交于A、B两点.求证△OAB面积的最大值 已知椭圆：x²/3+y²=1,过坐标原点O作两条互相垂直的射线,与椭圆分别交于A.B两点（1）求证O到直线AB的距离为定值（2）求△OAB面积的最大值 （沈阳质检）已知椭圆C两个焦点为（-1,0）和（1,0）且过点A（1,3/2）,O为坐标原点 （1）求椭圆C的方程（2）过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于A,B两点,证明点O到直线AB的距离d为定值 设椭圆C:x^2/a^2+Y^2/b^2=1的离心率e=1/2,右焦点到直线x/a+y/b=1的距离等于根号21/7,O为原点坐标,求椭圆第二问,过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交与A,B两点,证明点O到直线的距离为定值,并求 设椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=1/2,右焦点到直线x/a+y/b=1的距离d=√21/7,O为坐标原点 ①求椭圆C的方程 ②过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于A,B两点,证明：点O到直线AB的距离为 设椭圆C：x2/a2 + y2/b2 = 1 (a＞b＞0)的离心率 e = 1/2 ,右焦点到直线 x/a + y/b =1 的距离 d = 根号21 / 7 ,O为坐标原点.1、求椭圆C的方程；2、过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交于A,B两点,证明： 知椭圆C:x'2/a'2+y'2/b'2=1[a>b>0]的离心率为根6/3,右焦点为（根2,0）1求椭圆C的方程2若过原点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C交于A,B两点,求证：点O到直线的距离为定值 已知椭圆X^2/9+y^2/5=1过原点O作两条互相垂直的射线OA、OB分别交该椭圆于AB两点求1/|OA|^2+1/|OB|^2为定值 已知椭圆X^2/9+y^2/5=1过原点O作两条互相垂直的射线OA、OB分别交该椭圆于A、B两点求1/|OA|^2+1/|OB|^2为定 设椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=1/2,设椭圆C：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率e=1/2,右焦点到直线x/a+y/b=1的距离d=(√21)/7,O为坐标原点.过点O作两条互相垂直的射线,与椭圆C分别交与A,B亮点,证 已知椭圆c的两个焦点分别为F1,F2,离心率1/2,过F1的直线L与椭圆C交于M,N两点,且且△MNF2的周长为8.（1）求椭圆C的方程.（2）求过原点O的两条互相垂直的射线与椭圆C分别交于A、B两点,证明：点O 已知椭圆C:x²/a+x²/b=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1,F2,离心率为1/2,过F1的直线l与椭圆C交于M、N两点且△MNF2的周长为8.（1）求椭圆C的方程.（2）求过原点O的两条互相垂直的射线与椭圆C分别交 直线y=-x+1与椭圆X^2/a^2+Y^2/b^2=1(a>b>0)交于A,B两点,若椭圆的焦点在以短轴为直径的圆外,求椭圆离心率范围?若向量OA与向量OB互相垂直（O为坐标原点）,求椭圆长轴的取值范围. 已知椭圆x^2/2+y^2=1的左焦点为F,O为坐标原点（1）求过点O、F,并且与椭圆的左准线l相切的圆的方程已知椭圆(x^2)/2+y^2=1的左焦点为F，O为坐标原点，设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A,线 已知椭圆x^2/2+y^2=1的左焦点为F,O为坐标原点,设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭已知椭圆(x^2)/2+y^2=1的左焦点为F,O为坐标原点,设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A,B,线段AB的垂直平分线 椭圆中心是坐标原点O,焦点在x轴上,过椭圆左焦点F的直线交椭圆于P,Q两点,OP垂直OQ,求椭圆的离心率取值范围