已知椭圆x^2/4+y^2=1的左顶点为A,过A作两条互相垂直的弦AM,AN交椭圆于M,N两点(1)当直线AM的斜率为1时,求点M的坐标(2)当直线AM的斜率变化时,直线MN是否过x轴上的一定点,若过定点,请给出证明
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/08 16:36:14
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已知椭圆x^2/4+y^2=1的左顶点为A,过A作两条互相垂直的弦AM,AN交椭圆于M,N两点(1)当直线AM的斜率为1时,求点M的坐标(2)当直线AM的斜率变化时,直线MN是否过x轴上的一定点,若过定点,请给出证明
已知椭圆x^2/4+y^2=1的左顶点为A,过A作两条互相垂直的弦AM,AN交椭圆于M,N两点(1)当直线AM的斜率为1时,
求点M的坐标(2)当直线AM的斜率变化时,直线MN是否过x轴上的一定点,若过定点,请给出证明,并求出该定点,若不过定点,请说明理由.【主要是第二问不会】]
已知椭圆x^2/4+y^2=1的左顶点为A,过A作两条互相垂直的弦AM,AN交椭圆于M,N两点(1)当直线AM的斜率为1时,求点M的坐标(2)当直线AM的斜率变化时,直线MN是否过x轴上的一定点,若过定点,请给出证明
第一小题,得M(-6/5,4/5),N(-6/5,-4/5);
第二小题:假设MN过x轴上一定点;由(1)知定点坐标为Q(-6/5,0);
A(-2,0),设AM:y=k(x+2),则AN:y=-(x+2)/k
设M(x1,y1),N(x2,y2);
直线AM与椭圆联列消去y,得:(4k²+1)x²+16k²x+16k²-4=0;
A和M是这个方程的两个解,由韦达定理:x1-2=-16k²/(4k²+1),
得:x1=4/(4k²+1)-2,则y1=k(x1+2)=4k/(4k²+1);
直线AN和椭圆联列消去y,得:(k²+4)x²+16x+16-4k²=0;
A和N是这个方程的两个解,由韦达定理:x2-2=-16/(k²+4),
得:x2=2-16/(k²+4),则y2=-(x2+2)/k=-4k/(k²+4);
所以:M(4/(4k²+1)-2,4k/(4k²+1)),N(2-16/(k²+4),-4k/(k²+4)),Q(-6/5,0);
则MQ的斜率=5k/4(1-k²),NQ的斜率=5k/4(1-k²),
MQ的斜率=NQ的斜率
所以,M,Q,N三点共线
即MN必然过定点Q(-6/5,0);
如果不懂,请Hi我,元旦愉快!
1) (-6/5, 4/5)
2) 方法找特殊点:由1)若过定点必过S(-6/5,0) ,不妨M在椭圆与y轴的交点(0,1)
此时MN的连线过S,方程y=5x/6+1,连理椭圆方程,求出N(-30/17,-8/17)
再求出AN的斜率为-2,与AM不垂直。故不过定点