半径为2的球面上有A,B,C,D四个点,且AB,AC,AD两两垂直,求三角形ABC,ABD,ACD面积之和的最值
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/07/08 18:06:20
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半径为2的球面上有A,B,C,D四个点,且AB,AC,AD两两垂直,求三角形ABC,ABD,ACD面积之和的最值
半径为2的球面上有A,B,C,D四个点,且AB,AC,AD两两垂直,求三角形ABC,ABD,ACD面积之和的最值
半径为2的球面上有A,B,C,D四个点,且AB,AC,AD两两垂直,求三角形ABC,ABD,ACD面积之和的最值
因AB、AC、AD两两垂直,则:AB、AC、AD正好是球内接长方体的同一个顶点上的三条棱,设:AB=x,AC=y,AD=z,则:
x²+y²+z²=(2R)²=16 ----------------------------【长方体的体对角线恰为球的直径】
本题所求的就是S=(1/2)(xy+yz+zx)的最值问题.
因:
x²+y²≥2xy
y²+z²≥2yz
z²+x²≥2xz
上述三个式子相加,得:
2(x²+y²+z²)≥2(xy+yz+xz)
则:S=(1/2)(xy+yz+zx)≤(1/2)(x²+y²+z²)=8
从而,三角形ABC、ABD、ACD的面积之和的最大值是8
这类题用特值法。此球外接于一个正方体,且AB、AC、AD为这个正方体的三条边,设AB=x,由正方体可算出此球的直径为√3*x,所以x=√3/4,所求=3*(1/2)*(√3/4)^2=9/32为什么是正方体的三边?长方体不行么?因为你要求的是最值,只有正方体才能求出最值,而长方体不能。这题应该是选择题吧?做选择题经常要用到特值法,而特值法往往要用到正方体,你只有记住这点就行了。 抱歉啊,上面写...
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这类题用特值法。此球外接于一个正方体,且AB、AC、AD为这个正方体的三条边,设AB=x,由正方体可算出此球的直径为√3*x,所以x=√3/4,所求=3*(1/2)*(√3/4)^2=9/32
收起
首先AB^2+BC^2+AC^2=64
然后基本不等式
这只算个提示 自己想想吧!