作业帮已知以三角形ABC的顶点A为直角顶点,AC和BC为直角边向三角形ABC形外作等腰直角三角ABD和ACE,连接BC,DE,自A向BC作垂线AH,垂足为H,延长HA交DE于M.求证:M是DE的中点
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/07/11 02:32:38
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已知以三角形ABC的顶点A为直角顶点,AC和BC为直角边向三角形ABC形外作等腰直角三角ABD和ACE,连接BC,DE,自A向BC作垂线AH,垂足为H,延长HA交DE于M.求证:M是DE的中点
已知以三角形ABC的顶点A为直角顶点,AC和BC为直角边向三角形ABC形外作等腰直角三角ABD和ACE,连接BC,DE,
自A向BC作垂线AH,垂足为H,延长HA交DE于M.求证:M是DE的中点
已知以三角形ABC的顶点A为直角顶点,AC和BC为直角边向三角形ABC形外作等腰直角三角ABD和ACE,连接BC,DE,自A向BC作垂线AH,垂足为H,延长HA交DE于M.求证:M是DE的中点
估计是题目写错了,应该是"AC和AB为直角边向三角形ABC形外作等腰直角三角形" .
证明：
在BC上取N点,使CN=AM,连接 AN 如图
在△ACN和△EAM中
已知 AC=EA, CN=AM
因为 ∠AHC=90度
所以 ∠NCA+∠CAH=90度
又 ∠MAE+∠CAH=180-90=90度,
所以 ∠MAE=∠NCA
所以 △ACN全等△EAM （边角边）
所以 EM=AN （*）
同理可证 ∠ABN=∠DAM
因此 ∠BAC=∠ADM+∠AEM
又 ∠CAN=∠AEM
故 ∠BAN=∠ADM
已知 AD=AB
所以 △ABN全等△DAM （角边角）
所以 AN=DM
于是由（*）式得 EM=DM
即 M是DE的中点
证毕.