已知抛物线y^=2px l与抛物线交ab两点oa垂直ob,求证l必过一定点

已知抛物线y^=2px l与抛物线交ab两点oa垂直ob,求证l必过一定点
已知抛物线y^=2px l与抛物线交ab两点oa垂直ob,求证l必过一定点

已知抛物线y^=2px l与抛物线交ab两点oa垂直ob,求证l必过一定点
∵A、B在抛物线y^2＝2px上,即在x＝y^2/（2p）上,
∴可设A、B的坐标分别是（m^2/（2p）,m）、（n^2/（2p）,n）.
∴AB的斜率＝（m－n）/［m^2/（2p）－n^2/（2p）］＝2p/（m＋n）.
∴AB的方程为：y－n＝2p/（m＋n）［x－n^2/（2p）］＝2px/（m＋n）－n^2/（m＋n）,
∴y＝2px/（m＋n）－n^2/（m＋n）＋n＝2px/（m＋n）＋mn/（m＋n）.
又OA⊥OB,∴OA的斜率×OB的斜率＝－1,
而OA的斜率＝m/［m^2/（2p）］＝2p/m,　OB的斜率＝2p/n,　∴4p^2/（mn）＝－1,
∴mn＝－4p^2.
∴AB的方程为：y＝2px/（m＋n）－4p^2/（m＋n）＝［2p/（m＋n）］（x－2p）,
即 l 的方程为：y－0＝［2p/（m＋n）］（x－2p）.
∴ l 过点（2p,0）,对于给定的抛物线y^2＝2px来说,p是定值,∴（2p,0）是定点,
得：直线 l 必过定点（2p,0）.

【注：用“参数法”】
证明：
∵点A, B均在抛物线上。
∴可设其坐标为：
A(2pa²,2pa) B(2pb²,2pb)
【1】
数形结合可知，直线OA, OB的斜率均存在
且Koa=1/a. Kob=1/b
结合OA⊥OB可知
（1/a)×(1/b)=-1
∴ab=-1.
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【注：用“参数法”】
证明：
∵点A, B均在抛物线上。
∴可设其坐标为：
A(2pa²,2pa) B(2pb²,2pb)
【1】
数形结合可知，直线OA, OB的斜率均存在
且Koa=1/a. Kob=1/b
结合OA⊥OB可知
（1/a)×(1/b)=-1
∴ab=-1.
【2】
又直线AB的斜率k=1/(a+b)
∴可求得直线AB的方程为：
x-(a+b)y+2pab=0
又ab=-1
∴直线AB：x-(a+b)y-2p=0
显然，该直线恒过定点(2p, 0)

收起

y^2=-x与y=k(x+1)联立得k^2x^2+(2k^2+1)+k^2=0,根据韦达定理得x1x2=1.y1^2y2^2=x1x2,又因为y1y2是异号所以y1y2=-1，所以x1x2+y1y2=1-1=0，向量OA的坐标为（x1,y1）OB的坐标为（x2,y2），所以OAOB垂直