已知点M(1,y)在抛物线C:y^2=2px上,M点到抛物线C的焦点F的距离为2,直线l：y=-1/2+b与抛物线交于A、B两点若直线l与y轴负半轴相交,求△AOB面积的最大值

已知点M(1,y)在抛物线C:y^2=2px上,M点到抛物线C的焦点F的距离为2,直线l：y=-1/2+b与抛物线交于A、B两点若直线l与y轴负半轴相交,求△AOB面积的最大值
已知点M(1,y)在抛物线C:y^2=2px上,M点到抛物线C的焦点F的距离为2,直线l：y=-1/2+b与抛物线交于A、B两点
若直线l与y轴负半轴相交,求△AOB面积的最大值

已知点M(1,y)在抛物线C:y^2=2px上,M点到抛物线C的焦点F的距离为2,直线l：y=-1/2+b与抛物线交于A、B两点若直线l与y轴负半轴相交,求△AOB面积的最大值
先求抛物线方程
M点到抛物线C的焦点F的距离为2
根据抛物线的定义,那么M到准线的距离也是2
准线方程是x=-p/2
所以1+p/2=2 p=2
抛物线方程是y²=4x
根据题意,直线y=-x/2+b和抛物线有两个交点,并且b0 所以0>b>-2
(y1-y2)²=(y1+y2)²-4y1y2=64+32b
有y1-y2=-1/2(x1-x2)⇒(x1-x2)²=4(y1-y2)²=256+128b
AB²=(y1-y2)²+(x1-x2)²=320+160b
直线方程写成2y+x-2b=0
那么原点到AB的距离就是h=(-2b)/√5(这里b-2在定义域内 可以取
S△AOBmax=4*4/3√(4/3)=32√3/9
检查我算没算错啊
注：基本不等式abc≤[(a+b+c)/3]³ (a,b,c都是正数)
仅当a=b=c的时候取等号