三角形内一点到该三角形三个顶点距离的和最小的点为什么叫费马点

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/25 22:59:11
三角形内一点到该三角形三个顶点距离的和最小的点为什么叫费马点
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三角形内一点到该三角形三个顶点距离的和最小的点为什么叫费马点
三角形内一点到该三角形三个顶点距离的和最小的点为什么叫费马点

三角形内一点到该三角形三个顶点距离的和最小的点为什么叫费马点
费马（Pierre De Fermat )是法国数学家,1601年8月17日出生于法国南部图卢兹附近的博蒙·德·洛马涅.费马曾提出关于三角形的一个有趣问题：在三角形所在平面上,求一点,使该点到三角形三个顶点距离之和最小．人们称这个点为“费马点”.
引例：有甲乙丙三个村庄,要在中间建一供水站向三地送水,现要确定供水站的位置以使所需管道总长最小?将此问题用数学模型抽象出来即为：
在△ ABC中确定一点P,使P到三顶点的距离之和PA+PB+PC最小.
解法如下：分别以AB AC为边向外侧作正三角形ABD ACE 连结CD BE交于一点,则该点 即为所求P点.
证明：如下图所示.连结PA、PB、PC,在△ABE和△ACD中,AB=AD AE=AC ∠BAE=∠BAC+60° ∠DAC=∠BAC+60°=∠BAE ∴△ABE全等△ACD.
∴ ∠ABE=∠ADC 从而A、D、B、P四点共圆
∴∠APB=120° ,∠APD=∠ABD=60°
同理：∠APC=∠BPC=120°
以P为圆心,PA为半径作圆交PD于F点,连结AF,
以A为轴心将△ABP顺时针旋转60°,已证∠APD=60°
∴△APF为正三角形.∴不难发现△ABP与△ADF重合.
∴BP=DF PA+PB+PC=PF+DF+PC=CD
另在△ABC中任取一异于P的点G ,同样连结GA、GB、GC、GD,以B为轴心
将△ABG逆时针旋转60°,记G点旋转到M点..
则△ABG与△BDM重合,且M或 在 线 段DG上 或 在DG外.
GB+GA=GM+MD≥GDGA+GB+GC≥GD+GC>DC.
从而CD为最短的线段.
以上是简单的费马点问题,将此问题外推到四点,可验证四边形的对角线连线的交点即是所求点.

因为是费马发现并证明了他

三角形内一点到该三角形三个顶点距离的和最小的点为什么叫费马点 三角形内一点到三顶点的距离和小于该三角形的三边之和. 如何证明三角形内一点到三个顶点的距离小于三角形的周长 三角形内一点到三个顶点的距离相等,那么它是三角形的…… 三角形平面内有一点,该点到三角形三个顶点的距离和最短,则该点是三角形的A.重心B.垂心C.内心D.外心 已知三角形ABC,在三角形ABC内做一点P,使它到三角形ABC三个顶点的距离相等 三角形内一点到三个顶点的距离相等,那么它是三角形三个中垂线的交点.为什么? 三角形内一点到顶点距离和小于周长 求证任意三角形内任意一点到三个顶点的距离之和小于三边之和 等腰直角三角形内一点到底的两顶点的距离分别为1和3,到直角顶点的距离为2.求该三角形面积 如何找一点到到三角形三个顶点三点的距离和最近 怎样找在三角形内且与三个顶点的距离和最短的点 已知一直角三角形,直角边长为根号三、二,如何求三角形内一点,到三个顶点距离和最小? 同一平面内,求一点到三角形三个顶点距离最短.同一平面内,求一点到三角形三个顶点距离最短的那个点.没有一点思路饿...谁能提示下?最好留下推导过程．．～ 等边三角形内一点到三个顶点距离都等于根号3,则三角形周长为 等边三角形内一点到三个顶点的距离分别为3、4、5,则此三角形边长的平方为? 三角形内的一点和三顶点连线得到的三个三角形将原三角形面积三等分,该点是三角形的什么点? 三角形三条边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等（且距离最短）,为什么距离最短百度百科上说的