急,拿破仑三角形的的证法,复数不可

急,拿破仑三角形的的证法,复数不可
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急,拿破仑三角形的的证法,复数不可
见链接

http://hi.baidu.com/xxcctthi/blog/item/d40915ce2d3dfe3ab700c8b0.html
在任意△ABC的外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD三线共点，并且AE＝BF＝CD，如下图。这个命题称为拿破仑定理。
以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙ 、⊙ 、⊙ 、的圆心...

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http://hi.baidu.com/xxcctthi/blog/item/d40915ce2d3dfe3ab700c8b0.html
在任意△ABC的外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD三线共点，并且AE＝BF＝CD，如下图。这个命题称为拿破仑定理。
以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙ 、⊙ 、⊙ 、的圆心构成的△ ——外拿破仑的三角形。⊙ 、⊙ 、⊙ 三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形，如下图。
△ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙ 、⊙ 、⊙ 的圆心构成的△ ——内拿破仑三角形⊙ 、⊙ 、⊙ 三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形。如下图。
这个题并不难证，首先△ABC′、△BCA′、△CAB的外接圆交于一点X。（请看前一篇《费尔马点》）
连AP、AR、XP、XR，易知△APR≌△XPR，故∠APR=∠XPR，连BQ、BP、XQ，同理可证∠BPQ=∠XPQ，于是∠QPR=1/2∠APB，由∠APB=120°知∠QPR=60°。同理∠PQR=∠QRP=60°，即△PQR为正三角形。
类似可证三角形的内拿破仑三角形是正三角形（图2）。
拿破仑三角形还可有更简单的证明：实际上，在图1中，连AX、BX、CX，则由于PQ⊥BX，（两圆连心线垂直于公共弦）PR⊥AX，于是立即可得到∠QPR=60°，于是命题可证得。
拿破仑三角形还可作如下推广：
以△ABC的三边为边分别向三角形外侧作三个相似的三角形ABC′、CA′B、B′CA，（相似三角形的顶点对应排列）这三个三角形的外心为 P、Q、R，则△PQR也与这三个三角形相似。
外拿破仑三角形即为此题之特例，这只要让三个相似三角形是正三角形即可。
在任意△ABC的外侧，分别作等边△ABD、△BCE、△CAF，则AE、AB、CD三线共点，并且AE＝BF＝CD，如下图。这个命题称为拿破仑定理。
以△ABC的三条边分别向外作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙ 、⊙ 、⊙ 、的圆心构成的△ ——外拿破仑的三角形。⊙ 、⊙ 、⊙ 三圆共点，外拿破仑三角形是一个等边三角形，如下图。
△ABC的三条边分别向△ABC的内侧作等边△ABD、△BCE、△CAF，它们的外接圆⊙ 、⊙ 、⊙ 的圆心构成的△ ——内拿破仑三角形⊙ 、⊙ 、⊙ 三圆共点，内拿破仑三角形也是一个等边三角形。如下图。
这个题并不难证，首先△ABC′、△BCA′、△CAB的外接圆交于一点X。（请看前一篇《费尔马点》）
连AP、AR、XP、XR，易知△APR≌△XPR，故∠APR=∠XPR，连BQ、BP、XQ，同理可证∠BPQ=∠XPQ，于是∠QPR=1/2∠APB，由∠APB=120°知∠QPR=60°。同理∠PQR=∠QRP=60°，即△PQR为正三角形。
类似可证三角形的内拿破仑三角形是正三角形（图2）。
拿破仑三角形还可有更简单的证明：实际上，在图1中，连AX、BX、CX，则由于PQ⊥BX，（两圆连心线垂直于公共弦）PR⊥AX，于是立即可得到∠QPR=60°，于是命题可证得。
拿破仑三角形还可作如下推广：
以△ABC的三边为边分别向三角形外侧作三个相似的三角形ABC′、CA′B、B′CA，（相似三角形的顶点对应排列）这三个三角形的外心为 P、Q、R，则△PQR也与这三个三角形相似。
外拿破仑三角形即为此题之特例，这只要让三个相似三角形是正三角形即可。
这题的证法与前面类似。
利用高中三角知识还可证明：
三角形的面积等于它的外、内拿破仑三角形面积之差。

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提供一种最简单的证明方法，只需初中的水平就可以理解了：
证明：
如图，分别以△ABC的边BC、AC、AB为等边三角形边长，向△ABC外作等边三角形（△BCC'、△ACA'、△ABB'），设这三个三角形的中心分别为D，E，F，
则：∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°
以点A为圆心，以AF长为半径作弧；以点E为圆心，以DC...

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提供一种最简单的证明方法，只需初中的水平就可以理解了：
证明：
如图，分别以△ABC的边BC、AC、AB为等边三角形边长，向△ABC外作等边三角形（△BCC'、△ACA'、△ABB'），设这三个三角形的中心分别为D，E，F，
则：∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°
以点A为圆心，以AF长为半径作弧；以点E为圆心，以DC长为半径作弧。设两弧在多边形AFBDCE内交于点G。则AG=AF，GE=DC。
连接GF、GA、GE，DE、DF、EF。
∵△ABF、△BCD、△ACE都是底角为30°的等腰三角形（即∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°）
∴△ABF∽△BCD∽△ACE，
∴AF/AB = AE/AC = DC/BC
又∵AG=AF，GE=DC
∴AG/AB = AE/AC = GE/BC
∴△AGE∽△ABC
∴∠GAE=∠BAC
∴∠FAG = ∠EAF-∠GAE = ∠EAF-∠BAC = ∠FAB+∠EAC = 60°
又∵AG=AF
∴△AGF为等边三角形
∴AG=AF，∠AGF=60°
∵△AGE∽△ABC
∴∠AGE=∠ABC
又∵∠FBD = ∠ABC+∠FBA+∠DBC = ∠ABC+60°
∠FGE = ∠AGE+∠AGF = ∠AGE+60°
∴∠FBD=∠FGE
∵在△FBD和△FGE中，
FB=FG，∠FBD=∠FGE，BD=GE
∴△FBD≌△FGE(SAS)
∴FD=FE
同理，FD=DE
∵FD=DE=FE
∴△DEF为等边三角形
即“外拿破仑三角形”是等边三角形。（在任意一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形，则这三个等边三角形的中心也构成一个等边三角形）
图图图图图图图图：

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