求证 若p,q是奇数,则方程x^2+px+q=0不可能有整数根

求证 若p,q是奇数,则方程x^2+px+q=0不可能有整数根
求证 若p,q是奇数,则方程x^2+px+q=0不可能有整数根

求证 若p,q是奇数,则方程x^2+px+q=0不可能有整数根
设x1,x2是方程x^2+px+q=0的根
则x1+x2=q,x1x2=-p
设x1是整数,则,x2=q-x1也是整数
因为q为奇数
所以,满足x1+x2=q的整数x1,x2一定是一奇一偶
所以,x1与x2 的积为偶数
但x1x2=-p,为奇数
矛盾
所以,方程x^2+px+q=0不可能有整数根

很明显,X(P X)是奇数,当X是偶数时,不成立,当X是奇数时,还是偶数,不成立,则既不是偶又不是奇

由韦达定理得：
x1+x2=-p/1=-p
x1*x2=q/1=q
因为p,q为奇数，所以由第一个式子可知：x1,x2为一奇数一个偶数（因为奇数+偶数=奇数）
而从第二个式子可知x1,x2都为奇数（因为奇数*奇数=奇数）
所以两个结论相互矛盾
因此若p,q是奇数,则方程x^2+px+q=0不可能有整数根...

全部展开

由韦达定理得：
x1+x2=-p/1=-p
x1*x2=q/1=q
因为p,q为奇数，所以由第一个式子可知：x1,x2为一奇数一个偶数（因为奇数+偶数=奇数）
而从第二个式子可知x1,x2都为奇数（因为奇数*奇数=奇数）
所以两个结论相互矛盾
因此若p,q是奇数,则方程x^2+px+q=0不可能有整数根

收起