一元二次不等式 (9 19:18:11)设f(x)=ax2次方+bx+c,若f(1)=7/2,问是否存在a,b,c∈R,使得不等式x2次方+1/2≤f(x)≤2x2次方+2x+3/2对一切实数x都成立,证明你的结论.,
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/08/12 05:18:08
![一元二次不等式 (9 19:18:11)设f(x)=ax2次方+bx+c,若f(1)=7/2,问是否存在a,b,c∈R,使得不等式x2次方+1/2≤f(x)≤2x2次方+2x+3/2对一切实数x都成立,证明你的结论.,](/uploads/image/z/701041-49-1.jpg?t=%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BA%8C%E6%AC%A1%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8F+%289+19%3A18%3A11%29%E8%AE%BEf%28x%29%3Dax2%E6%AC%A1%E6%96%B9%2Bbx%2Bc%2C%E8%8B%A5f%281%29%3D7%2F2%2C%E9%97%AE%E6%98%AF%E5%90%A6%E5%AD%98%E5%9C%A8a%2Cb%2Cc%E2%88%88R%2C%E4%BD%BF%E5%BE%97%E4%B8%8D%E7%AD%89%E5%BC%8Fx2%E6%AC%A1%E6%96%B9%2B1%2F2%E2%89%A4f%28x%29%E2%89%A42x2%E6%AC%A1%E6%96%B9%2B2x%2B3%2F2%E5%AF%B9%E4%B8%80%E5%88%87%E5%AE%9E%E6%95%B0x%E9%83%BD%E6%88%90%E7%AB%8B%2C%E8%AF%81%E6%98%8E%E4%BD%A0%E7%9A%84%E7%BB%93%E8%AE%BA.%2C)
一元二次不等式 (9 19:18:11)设f(x)=ax2次方+bx+c,若f(1)=7/2,问是否存在a,b,c∈R,使得不等式x2次方+1/2≤f(x)≤2x2次方+2x+3/2对一切实数x都成立,证明你的结论.,
一元二次不等式 (9 19:18:11)
设f(x)=ax2次方+bx+c,若f(1)=7/2,问是否存在a,b,c∈R,使得不等式x2次方+1/2≤f(x)≤2x2次方+2x+3/2对一切实数x都成立,证明你的结论.,
一元二次不等式 (9 19:18:11)设f(x)=ax2次方+bx+c,若f(1)=7/2,问是否存在a,b,c∈R,使得不等式x2次方+1/2≤f(x)≤2x2次方+2x+3/2对一切实数x都成立,证明你的结论.,
假设存在这样的a,b,c
则:由f(1)=7/2得:
a+b+c=7/2,
a=7/2-b-c
由于:
f(x)≤2x^2+2x+(3/2)
即ax^2+bx+c≤2x^2+2x+(3/2)
对一切实数X都成立,
则有:
(7/2-b-c-2)x^2+(b-2)x+c-3/2≤0
所以:
(1)7/2-b-c-2=0,b-2=0,c-3/2≤0,
则:b=2,c=-1/2,a=2
此时,x^2+(1/2)≤f(x)
即x^2+(1/2)≤2x^2+2x-1/2
并非对一切x都成立.
(2)7/2-b-c-21.5①,
b^2+4bc+4c^2-10b-12c+13≤0 ②
又x^2+(1/2)≤f(x)
即x^2+(1/2)≤(7/2-b-c)x^2+bx+c
对一切实数X都成立
有(5-2b-2c)x^2+2bx+2c-1≥0
同样5-2b-2c>0,
△=(2b)^2-4(5-2b-2c)(2c-1)≤0
b+c
解:
假设存在这样的a,b,c
则:由f(1)=7/2得:
a+b+c=7/2,
a=7/2-b-c
由于:
f(x)≤2x^2+2x+(3/2)
即ax^2+bx+c≤2x^2+2x+(3/2)
对一切实数X都成立,
则有:
(7/2-b-c-2)x^2+(b-2)x+c-3/2≤0
所以:
(1)7...
全部展开
解:
假设存在这样的a,b,c
则:由f(1)=7/2得:
a+b+c=7/2,
a=7/2-b-c
由于:
f(x)≤2x^2+2x+(3/2)
即ax^2+bx+c≤2x^2+2x+(3/2)
对一切实数X都成立,
则有:
(7/2-b-c-2)x^2+(b-2)x+c-3/2≤0
所以:
(1)7/2-b-c-2=0,b-2=0,c-3/2≤0,
则:b=2,c=-1/2,a=2
此时,x^2+(1/2)≤f(x)
即x^2+(1/2)≤2x^2+2x-1/2
并非对一切x都成立。
(2)7/2-b-c-2<0,
且△=(b-2)^2-4(3/2-b-c)(c-3/2)≤0
b+c>1.5①,
b^2+4bc+4c^2-10b-12c+13≤0 ②
又x^2+(1/2)≤f(x)
即x^2+(1/2)≤(7/2-b-c)x^2+bx+c
对一切实数X都成立
有(5-2b-2c)x^2+2bx+2c-1≥0
同样5-2b-2c>0,
△=(2b)^2-4(5-2b-2c)(2c-1)≤0
b+c<2.5③,
b^2+4bc+4c^2-2b-12c+5 ≤0④
收起
我先来证左边部分:
记G(x)=x^2+1/2-(ax^2+bx+c) =(1-a)x^2-bx+(1/2-c)
题目就是要证 对任意x,G(x)<=0恒成立。
当a<1时,显然G(X)的图象开口向上,显然不成立;
又f(1)=7/2,可得a+b+c=7/2, 所以c=7/2 -(a+b)
所以 当a=1时,bx>=1/2 - c =1/2- 7/2+a+...
全部展开
我先来证左边部分:
记G(x)=x^2+1/2-(ax^2+bx+c) =(1-a)x^2-bx+(1/2-c)
题目就是要证 对任意x,G(x)<=0恒成立。
当a<1时,显然G(X)的图象开口向上,显然不成立;
又f(1)=7/2,可得a+b+c=7/2, 所以c=7/2 -(a+b)
所以 当a=1时,bx>=1/2 - c =1/2- 7/2+a+b=-3+1+b=b-2
即bx>=b-2对任意x都 要恒成立,则b=0,这时f(x)=x^2+5/2
要满足x^2+5/2<=2x^2+2x+3/2对任意x也要成立,即-x^2-2x+1<=0,
也就是-(x+1)^2 +2<=0恒成立,显然左边的不等式对任意x并不成立;
当a>1时,G(x)=(1-a)x^2-bx+(1/2-c)<=0要恒成立的话,就要满足(因为开口向下)判别式小于或等于0即G(x)<=0就恒成立。
△=b^2-4(1-a)(1/2-c)=b^2+4(1-a)(a+b+3)=(2a-b)^2-4(2a-b)+12=[(2a-b)-2]^2+8>0,所以这样x不是任意值。
综上,对于任意x,不存在a,b,c∈R,使得不等式x2次方+1/2≤f(x)对一切实数x都成立.
所以对于任意x,不存在a,b,c∈R,使得不等式x2次方+1/2≤f(x) ≤2x2次方+2x+3/2对一切实数x都成立.
收起