求微分方程x*(dy/dx)-2y=x^3e^x在x=1,y=0下的特解,答案是y=x^2 (e^x - e),

求微分方程x*(dy/dx)-2y=x^3e^x在x=1,y=0下的特解,答案是y=x^2 (e^x - e),
求微分方程x*(dy/dx)-2y=x^3e^x在x=1,y=0下的特解,答案是y=x^2 (e^x - e),

求微分方程x*(dy/dx)-2y=x^3e^x在x=1,y=0下的特解,答案是y=x^2 (e^x - e),
【方法一】
x*(dy/dx) - 2y = x^3 * e^x 两边同时除以 x^3 => (x * y ' - 2y) / x^3 = e^x
左边分子分母同时乘以 x => ( y ' * x^2 - y * (x^2) ' ) / x^4 = (y / x^2) ' = e^x
两边同时积分 => y/x^2 = e^x + C => y = x^2 * (e^x + C).
x = 1,y = 0,代入上式得到 C = -e,∴ y = x^2 * (e^x - e).
【方法二】
利用一阶线性方程 y ' + p(x) y = q(x) 的通解公式：
y = e^(-∫ p(x) dx) * (C + ∫ q(x) * e^(∫ p(x) dx) dx).
x*(dy/dx) - 2y = x^3 * e^x => y ' - 2/x * y = x^2 * e^x
∴ p(x) = -2/x,q(x) = x^2 * e^x,代入通解公式计算得到：
y = e^(∫ 2/x dx) * (C + ∫ x^2 * e^x * e^(∫ -2/x dx) dx)
= x^2 * (C + ∫ e^x dx) = x^2 * (C + e^x).
x = 1,y = 0,代入上式得到 C = -e,∴ y = x^2 * (e^x - e).