作业帮∫x/(1+cosx)dx谢谢
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 13:48:45
∫x/(1+cosx)dx谢谢
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∫xdx/(1+cosx)
=∫xdx/[2cos²(x/2)]
=∫xd[tan(x/2)]
=x*tan(x/2)-∫[tan(x/2)]dx
=x*tan(x/2)+2*ln|cos(x/2)|+C
解法如下：
利用万能公式代换，设tg(x/2)=u, x∈(2kπ- π, 2kπ+ π) ，则 x=2arctgu+2kπ
由此得：cosx=(1-u^2)/(1+u^2), x=2arctgu+2kπ
dx=2du/(1+u^2)
将以上等式代入原式：
∫x/(1+cosx)dx=∫（2arctgu+2kπ）du=2kπu+2∫(arctgu)d...
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解法如下：
利用万能公式代换，设tg(x/2)=u, x∈(2kπ- π, 2kπ+ π) ，则 x=2arctgu+2kπ
由此得：cosx=(1-u^2)/(1+u^2), x=2arctgu+2kπ
dx=2du/(1+u^2)
将以上等式代入原式：
∫x/(1+cosx)dx=∫（2arctgu+2kπ）du=2kπu+2∫(arctgu)du ← （考虑使用分部积分法）
=2kπu+2uarctgu-2∫u^2/(1+u^2 )du=2kπu+2uarctgu-2∫[1-1/(1+u^2 )]du
=2kπu+2uarctgu-2u+2arctgu+C
=2(uarctgu+arctgu+kπ-u)+C1 此处 k∈Z
注：以上式子中x=2arctgu+2kπ,可能有人在求解时直接由tg(x/2)=u，得出x=2arctgu,这实际上限定了x取值在（ -π， π）之间，而原式中对x取值并未如此限制。
以上答案仅供参考，如有疑问，可继续追问！
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