已知a≠b 且a²/ab+b² -b²/a²+ab=0 求证:1/a+1/b=1/a+b

已知a≠b 且a²/ab+b² -b²/a²+ab=0 求证:1/a+1/b=1/a+b
已知a≠b 且a²/ab+b² -b²/a²+ab=0 求证:1/a+1/b=1/a+b

已知a≠b 且a²/ab+b² -b²/a²+ab=0 求证:1/a+1/b=1/a+b
a²/(ab+b²) -b²/(a²+ab)=0
a²/(ab+b²) =b²/(a²+ab)
a²(a²+ab)=b²(ab+b²)
a^4+a³b=ab³+b^4
a^4-b^4=ab³-a³b
即(a²-b²)(a²+b²)=ab(b²-a²)
∵a≠b,a+b≠0（否则原式无意义）
∴a²-b²≠0,
两边同除以(a²-b²)得a²+b²=-ab
a²+2ab+b²=ab
(a+b)²=ab
两边同除以(a+b)得a+b=ab/(a+b)
∴1/(a+b)=(a+b)/(ab)=1/b+1/a
即1/a+1/b=1/(a+b)