高中椭圆方程,求解,求细过程

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/30 04:52:24
高中椭圆方程,求解,求细过程
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高中椭圆方程,求解,求细过程
高中椭圆方程,求解,求细过程

 

高中椭圆方程,求解,求细过程
设F1,F2分别 为椭圆C：x^2/2+y^2=1的左右焦点,P为椭圆C上任一点,
（1）求向量PF1*PF2的取值范围；
（2）设过点F1且不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A,B,线段AB的垂直平分线与X轴交于G,求G点横坐标的取值范围.
(1)解析：∵椭圆C：x^2/2+y^2=1,P为椭圆C上任一点
∴a=√2,b=1,c=1,F1(-1,0),F2(1,0)
设P(x,y)
向量PF1*PF2=(-1-x,-y)(1-x,-y)=x^2-1+y^2
∵y^2=1-x^2/2
∴向量PF1*PF2=(-1-x,-y)(1-x,-y)=x^2-x^2/2=
x^2/2
∵x∈[-√2, √2]
∴向量PF1*PF2的取值范围为：[0,1]
(2)解析：设直线AB的方程为x=my-1
与椭圆联立得(m^2+2)y^2-2my-1=0
令A(x1,y1),B(x2,y2),AB中点C(x0,y0)
由韦达定理y1+y2=2m/(m^2+2),y1y2=-1/(m^2+2)
∴y0=(y1+y2)/2=m/(m^2+2),x0=my0-1=-2/(m^2+2)
则AB中垂线方程：y-y0=-m(x-x0)
令y=0==>x=x0+y0/m=-2/(m^2+2)-1/(m^2+2)=-3/(m^2+2)
∵m≠0,∴-3/2∴G点横坐标的取值范围-3/2

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