作业帮半正定二次型的充要条件:二次型的矩阵A=C′C证:充分性.对任意X = 0 (不等于),有 X'AX = X'(C'C)X = (CX)'(CX) >= 0.(非负性)所以二次型是半正定的.必要性.由二次型是半正定的,其标准形为 x1^2+x2^2+...+xr^
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/12/02 04:43:05
半正定二次型的充要条件:二次型的矩阵A=C′C证:充分性.对任意X = 0 (不等于),有 X'AX = X'(C'C)X = (CX)'(CX) >= 0.(非负性)所以二次型是半正定的.必要性.由二次型是半正定的,其标准形为 x1^2+x2^2+...+xr^
半正定二次型的充要条件:二次型的矩阵A=C′C
证:充分性.对任意X = 0 (不等于),
有 X'AX = X'(C'C)X = (CX)'(CX) >= 0.(非负性)
所以二次型是半正定的.
必要性.由二次型是半正定的,其标准形为 x1^2+x2^2+...+xr^2.
即对应有正交矩阵P满足 P^(-1)AP = diag(1,1,...,1,0,...,0).
所以 A = Pdiag(1,1,...,1,0,...,0)P^(-1)
由P是正交矩阵,所以 P^(-1) = P'(转置).
令 C = diag(1,1,...,1,0,...,0)P',则
A = Pdiag(1,1,...,1,0,...,0)P^(-1)
= (Pdiag(1,1,...,1,0,...,0))(diag(1,1,...,1,0,...,0)P')
= C'C.
该证明中,如果用正交阵进行合同变换,标准型应该都是特征值吧,特征值构成的对角阵不一定都是单位阵吧（即λ1,λ2,...不一定都等于1吧）
半正定二次型的充要条件:二次型的矩阵A=C′C证:充分性.对任意X = 0 (不等于),有 X'AX = X'(C'C)X = (CX)'(CX) >= 0.(非负性)所以二次型是半正定的.必要性.由二次型是半正定的,其标准形为 x1^2+x2^2+...+xr^
这个证明是错误的,你的质疑是对的.
当然要修正也很容易,可以取普通的合同变换而非正交变换,也可以在正交相似标准型当中把特征值开方分别归入两侧的因子中.
矩阵A半正定，则存在可逆矩阵P使得
A=P'DP
其中D=diag(a1,a2,……,an)，ai为A的特征值，显然均非负。
令
Q=diag(√a1,√a2,……,√an)
取C=QP
则
A=C'C