A是n阶矩阵,Ax=0的有非零解的充要条件是|A|=0,为什么?能够证明么?

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A是n阶矩阵,Ax=0的有非零解的充要条件是|A|=0,为什么?能够证明么?

A是n阶矩阵,Ax=0的有非零解的充要条件是|A|=0,为什么?能够证明么?
必要性：假设|A|不为0,则n阶矩阵A可逆,AX=0两边同时左乘A逆得X=0,即说明X只有0解,与条件矛盾,故|A|=0
充分性：将A写成列向量的形式,A=[a1,a2,.an],其中ai为A的第i列,
同时X也写成向量形式,X=[x1,x2,...xn]T
则AX=0可表示成
x1a1+x2a2+.xnan=0
因为|A|=0,所以A的秩小于n,所以A的列向量线性相关,故存在不全为0的一组数 x1,x2,.,xn,使得x1a1+x2a2+.xnan=0
所以AX=0有非零解
这道题在线性代数里算比较基础的,建议你多看看书,线性代数好多题证明要用到线性相关的知识