设n*s实矩阵A的秩为s,则有秩为n-s的n*n-s实矩阵B,使（A,B）可逆

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/27 23:09:51
设n*s实矩阵A的秩为s,则有秩为n-s的n*n-s实矩阵B,使（A,B）可逆
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设n*s实矩阵A的秩为s,则有秩为n-s的n*n-s实矩阵B,使（A,B）可逆
设n*s实矩阵A的秩为s,则有秩为n-s的n*n-s实矩阵B,使（A,B）可逆

设n*s实矩阵A的秩为s,则有秩为n-s的n*n-s实矩阵B,使（A,B）可逆
考虑矩阵(A E),其中E为n阶单位矩阵,于是r(A E) = n.
通过初等行变换,可将(A E)化为阶梯矩阵,可知该阶梯矩阵各行非零.
由r(A) = s,A的列向量线性无关.
初等行变换不改变列的线性关系,因此在阶梯矩阵中这s列仍线性无关.
因此对k ≤ s,阶梯矩阵的第k行的第一个非零元就在第k列.
对此后的n-s行,每行都有非零元.
考虑这n-s行,每行的第一个非零元的所在列,共n-s列.
在阶梯矩阵中可以看出,它们与前s列线性无关.
仍由初等行变换不改变列的线性关系,在(A E)中,这n-s列与前s列线性无关.
于是找到了n-s个列向量,它们与A的列向量线性无关.
以它们为列向量组成矩阵B,有r(A B) = n,即n阶方阵(A B)满秩.
故(A B)可逆,证毕.
因为不清楚你学到什么地方了,所以用的是最基本阶梯矩阵的方法.
如果学过基的扩充定理,那可以简单许多.
由r(A) = s,A的列向量线性无关.
由基的扩充定理,A的列向量可扩充为R^n的一组基.
即存在n-s个向量与A的列向量线性无关.
由它们组成的矩阵B即满足要求.

设n*s实矩阵A的秩为s,则有秩为n-s的n*n-s实矩阵B,使（A,B）可逆 设A为m×n矩阵,B为n×s矩阵,已知A的列向量组线性无关,证明:B与AB有相同的秩. 设A为m×n矩阵,B为n×s矩阵,已知A的列向量组线性无关,证明:B与AB有相同的秩 A为秩为n的s*n矩阵,AB=BC证明B=C 设A为实数域上n×s矩阵,证明对任意的n×t实矩阵B,存在s×t矩阵C,使得A'AC=A'B 设A为s*n的矩阵,B为n*l矩阵,为什么B*A不一定有意义麻烦举个例子, 设A是一个秩为r的s×n矩阵,证明存在一个秩为n－r的n×（n－r）的矩阵C,使AC=0 设m×n实矩阵A的秩为n,证明：矩阵AtA为正定矩阵. 设A是m*n矩阵,B为n×s矩阵,r(A)=r＜n,且AB=0.证明：秩(B)≦n－r如题,拜托尽量把格式写的标准一点,感激不尽! 设a,b分别是m*n,n*s矩阵且b为行满值矩阵,证明:r(ab)=r(a)的详细解题 A为m*n矩阵 B为n*s矩阵 证明r(A)= 设A为m*n矩阵,B为n*s矩阵,若AB=O,求证：r(A)+r(B)≤n 设A为m*n矩阵,B为n*s矩阵,若AB=O,则r(A)+r(B)≤n 设A为m*n矩阵,B为n*s矩阵,若AB=O,则r(A)+r(B)≤n 设A是m*n矩阵,B是n*s矩阵,证明秩r(AB) 设mxn实矩阵A的秩为n,证明:矩阵A^TA为正定矩阵. 设A为n阶方阵,B为N×S矩阵,且r(B)=n.证明若AB=0则A=0 设ABC分别为m*n,n*s,s*m矩阵,且r(CA)=r(A),证明r(CAB)=r(AB)