已知函数f(x)=x+2/x,证明:函数f(x)在(√2,+∞)内是增函数,

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/28 18:11:48
已知函数f(x)=x+2/x,证明:函数f(x)在(√2,+∞)内是增函数,
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已知函数f(x)=x+2/x,证明:函数f(x)在(√2,+∞)内是增函数,
已知函数f(x)=x+2/x,证明:函数f(x)在(√2,+∞)内是增函数,

已知函数f(x)=x+2/x,证明:函数f(x)在(√2,+∞)内是增函数,
任取x1,x2属于(√2,+∞),且x1√2,
所以x1*x2>2
所以1-2/x1x2>0
所以(x2-x1)*(1-2/x1x2)>0
函数f(x)在(√2,+∞)内是增函数

设√2f(x2)-f(x1)=x2+2/x2-x1-2/x1
=(x2-x1)+(2x1-2x2)/x1x2
=[(x2-x1)x1x2-2(x2-x1)]/x1x2
=(x2-x1)(x1x2-2)/x1x2

x1x2>x1^2>(√2)^2=2
原式>0
f(x2)>f(x1)
函数f(x)在(√2,+∞...

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设√2f(x2)-f(x1)=x2+2/x2-x1-2/x1
=(x2-x1)+(2x1-2x2)/x1x2
=[(x2-x1)x1x2-2(x2-x1)]/x1x2
=(x2-x1)(x1x2-2)/x1x2

x1x2>x1^2>(√2)^2=2
原式>0
f(x2)>f(x1)
函数f(x)在(√2,+∞)内是增函数

收起

设x2>x2>√2
f(x1)-f(x2)=(x1-x2)+2(1/x1-1/x2)
=(x1-x2)-2(x1-x2)/(x1x2)=(x1-x2)(1-2(/x1x2))>)=(x1-x2)(1-2(/x2x2))>(x1-x2)(1-2(/2))=0
故函数f(x)在(√2,+∞)内是增函数